Một dụng cụ đựng nước có dạng như hình bên. Nếu cắt dụng cụ bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng \(x\)(cm) \((0 \le x \le 5)\) thì được thiết diện là hình chữ nhật có chiều dài là \(2x\) (cm) và chiều rộng là \(\sqrt {x + 3} \)(cm). Dung tích của dụng cụ trên là bao nhiêu ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân hàng phần chục).

Nhận xét: Với \(D\) là trung điểm \(AC\), bằng hình ảnh trực quan, ta thấy rằng tam giác \(ABC\) cân tại \(B\); \(DB \bot Ox\), do đó thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác \(ABC\) quanh trục \(Ox\) sẽ gấp 2 lần thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác \(ABD\) quanh trục \(Ox\).

Ta lập phương trình đường thẳng \(d\) đi qua 2 điểm \(A\) và \(B\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;4} \right)\) là vector chỉ phương của đường thẳng \(d\), suy ra vector pháp tuyến của \(d\) là \(\overrightarrow n  = \left( {4; - 2} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(d\) di qua \(A\left( {0;0} \right)\), nhận \(\overrightarrow n  = \left( {4; - 2} \right)\) làm vector pháp tuyến là:

\(4\left( {x - 0} \right) + \left( { - 2} \right)\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 2y = 0 \Leftrightarrow y = 2x\).

Khi đó, quay tam giác \(ABD\) quanh trục \(Ox\) ta được thể tích khối tròn xoay là

\(\pi \int\limits_0^4 {{f^2}\left( x \right){\rm{d}}x}  = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {2x} \right)}^2}{\rm{d}}x}  = 4\pi \int\limits_0^4 {{x^2}{\rm{d}}x}  = \left. {4\pi \frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^4 = \frac{{256}}{3}\pi \).

Diện tích của mặt cắt là: \(S(x) = \pi {(\sqrt {4 - x} )^2}\)(dm2)