Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) vẽ nửa đường tròn tâm \(O\), bán kính \(r = 2\) nằm phía trên trục \(Ox\). Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn, trục \(Ox\) và đường thẳng \(x = 1\)(Hình 6) . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay \(D\) quanh trục \(Ox\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Phương trình đường tròn tâm \(O\), bán kính \(r = 2\) là \({x^2} + {y^2} = 4\).
Do nửa đường tròn nằm phía trên trục \(Ox\), nên ta có \(y \ge 0\).
Suy ra phương trình nửa đường tròn là \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \).
Hình phẳng \(D\) (phần được tô đậm) được giới hạn bởi đồ thì hàm số \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \), trục \(Ox\)và đường thẳng \(x = 1\). Do đó, thể tích khối tròn xoay khi quay \(D\) quanh \(Ox\)là
\[V = \pi \int\limits_{ - 2}^1 {{{\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}^2}} dx = \pi \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {4 - {x^2}} \right)} dx = \pi \left. {\left( {4x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 2}^1 = 9\pi \].Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Nhận xét: Với \(D\) là trung điểm \(AC\), bằng hình ảnh trực quan, ta thấy rằng tam giác \(ABC\) cân tại \(B\); \(DB \bot Ox\), do đó thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác \(ABC\) quanh trục \(Ox\) sẽ gấp 2 lần thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác \(ABD\) quanh trục \(Ox\).
Ta lập phương trình đường thẳng \(d\) đi qua 2 điểm \(A\) và \(B\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;4} \right)\) là vector chỉ phương của đường thẳng \(d\), suy ra vector pháp tuyến của \(d\) là \(\overrightarrow n = \left( {4; - 2} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(d\) di qua \(A\left( {0;0} \right)\), nhận \(\overrightarrow n = \left( {4; - 2} \right)\) làm vector pháp tuyến là:
\(4\left( {x - 0} \right) + \left( { - 2} \right)\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 2y = 0 \Leftrightarrow y = 2x\).
Khi đó, quay tam giác \(ABD\) quanh trục \(Ox\) ta được thể tích khối tròn xoay là
\(\pi \int\limits_0^4 {{f^2}\left( x \right){\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {2x} \right)}^2}{\rm{d}}x} = 4\pi \int\limits_0^4 {{x^2}{\rm{d}}x} = \left. {4\pi \frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^4 = \frac{{256}}{3}\pi \).
Như vậy, khi quay tam giác \(ABC\) quanh trục \(Ox\) thì ta được thể tích khối tròn xoay là: \(V = 2.\frac{{256}}{3}\pi = \frac{{512}}{3}\pi \).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Theo đề bài ta có:
\({S_A} = \int\limits_{ - 2}^0 {f(x)dx = F(0) - F( - 2) = 5} \); \({S_B} = \int\limits_0^1 { - f(x)dx = F(0) - F(1) = 2} \)
Từ đó suy ra : \({S_A} - {S_B} = F(1) - F( - 2) = 3 \Leftrightarrow F(1) = 4.\)Câu 3
a) Diện tích hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \((C):y = \sqrt {2x} \), trục tung, trục hoành,\(x = 4\) bằng \(\frac{{16\sqrt 2 }}{3}\)
b) Diện tích hình phẳng \(H\) giới hạn bởi đường thẳng \(\left( d \right):y = 2x - 2\) và đồ thị \((C):y = \sqrt {2x} \), và trục hoành bằng \(\frac{5}{3}\)
c) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(d\) quanh trục \(Ox\),\(x = 3;\,\,x = 6\) bằng \(165\pi \)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
a) Toạ độ giao điểm của đường thẳng \(y = 2x\) và đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 5x\) là \(A\left( {0;0} \right)\)và \(B\left( {3;6} \right).\)
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 5x\), trục hoành là \(\frac{{27}}{2}\)
c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 5x,{\rm{y}} = 2x\) là \(\frac{9}{2}\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;\,\,x = 3\) bằng \({{\rm{e}}^3}.\)
b) Khi \(k = 4\) thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;\,\,x = k\) bằng \(3\).
c) Gọi \(d\) là tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm \({x_0} = 1\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(d\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;\,\,x = 3\) bằng \[\frac{{9{\rm{e}}}}{2}\].
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập