Biết \(\int\limits_1^3 {\frac{{x + 2}}{x}} dx = a + b\ln c,\) với \(a,b,c \in \mathbb{Z},c < 9.\) Tính tổng \(S = a + b + c.\)

Phần giải chi tiết

Dựa vào đồ thị, ta thấy:

+ Parabol \(y = f\left( x \right)\) có đỉnh là \(A\left( {0;2} \right)\) nên \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + 2\)

Mặt khác, \(C\left( { - 4;0} \right)\) thuộc parabol \(y = f\left( x \right)\) nên \(y = f\left( x \right) =  - \frac{1}{8}{x^2} + 2\)

+ Parabol \(y = g\left( x \right)\) có đỉnh là \(B\left( {0; - 3} \right)\) nên \(y = g\left( x \right) = b{x^2} - 3\)

Mặt khác, \(C\left( { - 4;0} \right)\) thuộc parabol \(y = g\left( x \right)\) nên \(y = g\left( x \right) = \frac{3}{{16}}{x^2} - 3\)

+ Diện tích logo hình con cá là: \({S_1} = \int_{ - 5}^4 {\left| {f\left( x \right) - f\left( x \right)} \right|dx}  = \frac{{1345}}{{48}}\,\,\left( {d{m^2}} \right)\)

+ Diện tích phần được sơn màu trắng là: \({S_2} = 9.5 - {S_1} = \frac{{815}}{{48}}\,\,\left( {d{m^2}} \right)\)

a) Đúng  theo định nghĩa

b) Sai

\[\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 4x} \right)} \right|_{ - 1}^2 = \frac{{16}}{3}\]

\[\begin{array}{l}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)\\ \Rightarrow F\left( 2 \right) = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  + F\left( 0 \right) = \frac{{16}}{3} + 1 = \frac{{19}}{3}\end{array}\]

c) Đúng

\[\int\limits_0^2 {af\left( x \right)dx}  = 32 \Leftrightarrow a.\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  = 32\]

\( \Leftrightarrow a.\frac{{16}}{3} = 32 \Leftrightarrow a = 6\)

d) Đúng

Đặt \(F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right).{e^{3x}}\) là một nguyên hàm của hàm số \({e^{3x}}.f\left( x \right)\)

Khi đó: \(F'\left( x \right) = {e^{3x}}.f\left( x \right) \Rightarrow 3.{e^{3x}}\left( {a{x^2} + bx + c} \right) + {e^{3x}}.\left( {2ax + b} \right) = {e^{3x}}.f\left( x \right)\)

\( \Rightarrow 3\left( {a{x^2} + bx + c} \right) + 2ax + b = f\left( x \right)\)

\( \Rightarrow 3a{x^2} + \left( {3b + 2a} \right)x + 3c + b = 2{x^2} - 3\)

Đồng nhất hai vế, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}3a = 2\\2a + 3b = 0\\b + 3c =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{3}\\b =  - \frac{4}{9}\\c =  - \frac{{23}}{{27}}\end{array} \right.\)

Vậy: \[\int\limits_0^2 {{e^{3x}}f\left( x \right)dx}  = \left. {{e^{3x}}\left( {\frac{2}{3}{x^2} - \frac{4}{9}x - \frac{{23}}{{27}}} \right)} \right|_0^2 = {e^6}.\frac{{25}}{{27}} + \frac{{23}}{{27}}\]