Để trang trí một bảng gỗ hình chữ nhật có chiều dài \(9\,dm\) và chiều rộng \(5\,dm\), người ta thiết kế một logo hình con cá. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho trong hình vẽ dưới đây (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimét), sau đó logo được sơn màu xanh với chi phí \(20\,\,000\) đồng/\(d{m^2}\); phần còn lại sơn màu trắng với chi phí \(10\,\,000\) đồng/\(d{m^2}\).

Số tiền cần dùng để trang trí bảng gỗ trên là bao nhiêu nghìn đồng? (Làm tròn kết quả đến hàng nghìn đồng)

Phần giải chi tiết

Dựa vào đồ thị, ta thấy:

+ Parabol \(y = f\left( x \right)\) có đỉnh là \(A\left( {0;2} \right)\) nên \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + 2\)

Mặt khác, \(C\left( { - 4;0} \right)\) thuộc parabol \(y = f\left( x \right)\) nên \(y = f\left( x \right) =  - \frac{1}{8}{x^2} + 2\)

+ Parabol \(y = g\left( x \right)\) có đỉnh là \(B\left( {0; - 3} \right)\) nên \(y = g\left( x \right) = b{x^2} - 3\)

Mặt khác, \(C\left( { - 4;0} \right)\) thuộc parabol \(y = g\left( x \right)\) nên \(y = g\left( x \right) = \frac{3}{{16}}{x^2} - 3\)

+ Diện tích logo hình con cá là: \({S_1} = \int_{ - 5}^4 {\left| {f\left( x \right) - f\left( x \right)} \right|dx}  = \frac{{1345}}{{48}}\,\,\left( {d{m^2}} \right)\)

+ Diện tích phần được sơn màu trắng là: \({S_2} = 9.5 - {S_1} = \frac{{815}}{{48}}\,\,\left( {d{m^2}} \right)\)