Biết rằng \(\int\limits_2^t {\frac{{2x - 1}}{{{x^2} - 4x + 3}}dx = f\left( t \right)} \) với \(t > 4\). Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( t \right)\) trên \(\left[ {5;6} \right]\) bằng \(\frac{1}{2}\ln \frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức \(a + b\)

Phần giải chi tiết

Dựa vào đồ thị, ta thấy:

+ Parabol \(y = f\left( x \right)\) có đỉnh là \(A\left( {0;2} \right)\) nên \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + 2\)

Mặt khác, \(C\left( { - 4;0} \right)\) thuộc parabol \(y = f\left( x \right)\) nên \(y = f\left( x \right) =  - \frac{1}{8}{x^2} + 2\)

+ Parabol \(y = g\left( x \right)\) có đỉnh là \(B\left( {0; - 3} \right)\) nên \(y = g\left( x \right) = b{x^2} - 3\)

Mặt khác, \(C\left( { - 4;0} \right)\) thuộc parabol \(y = g\left( x \right)\) nên \(y = g\left( x \right) = \frac{3}{{16}}{x^2} - 3\)

+ Diện tích logo hình con cá là: \({S_1} = \int_{ - 5}^4 {\left| {f\left( x \right) - f\left( x \right)} \right|dx}  = \frac{{1345}}{{48}}\,\,\left( {d{m^2}} \right)\)

+ Diện tích phần được sơn màu trắng là: \({S_2} = 9.5 - {S_1} = \frac{{815}}{{48}}\,\,\left( {d{m^2}} \right)\)

Chi phí để sản xuất \(x\) sản phẩm bằng \(C\left( x \right) = \int {C'\left( x \right)} {\rm{d}}x = {x^3} - 2{x^2} + 10x + C\)

Mà chi phí cố định ban đầu để sản xuất là 500 nghìn đồng

Suy ra \(C\left( 0 \right) = 500 \Rightarrow C = 500\)\( \Rightarrow C\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 10x + 500\)

Khi bán \(x\) sản phẩm, số tiền thu được là: \(270x\) (nghìn đồng).

Do đó lợi nhuận thu được là: \(T\left( x \right) =  - {x^3} + 2{x^2} + 260x - 500\) (nghìn đồng).

Ta có \(T'\left( x \right) =  - 3{x^2} + 4x + 260 = 0 \Leftrightarrow x = 10{\rm{ }}\) hoặc \(x =  - \frac{{26}}{3}\) (loại).

Bảng biến thiên