Một hộ gia đình sản xuất cơ khí nhỏ mỗi ngày sản xuất được \(x\) sản phẩm \(\left( {0 \le x \le 20} \right)\). Chi phí biên để sản xuất \(x\) sản phẩm, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm số sau \(C'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 10\). Biết rằng chi phí cố định ban đầu để sản xuất là 500 nghìn đồng. Giả sử cơ sở này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 270 nghìn đồng/sản phẩm. Tính lợi nhuận tối đa mà gia đình đó thu được khi sản xuất và bán sản phẩm?

Để trang trí một bảng gỗ hình chữ nhật có chiều dài \(9\,dm\) và chiều rộng \(5\,dm\), người ta thiết kế một logo hình con cá. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho trong hình vẽ dưới đây (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimét), sau đó logo được sơn màu xanh với chi phí \(20\,\,000\) đồng/\(d{m^2}\); phần còn lại sơn màu trắng với chi phí \(10\,\,000\) đồng/\(d{m^2}\).

Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn Lan đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng \[OO' = 6\]\[{\rm{cm}}\], \[OA = 10\]\[{\rm{cm}}\], \[OB = 20\] \[{\rm{cm}}\], đường cong \[AB\] là một phần của parabol có đỉnh là điểm\[B\]. Tính thể tích của chiếc mũ (làm tròn đến hàng phần nguyên, đơn vị \({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\))

Cho hàm số \[y = f(x)\] có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Biết diện tích hai phần gạch chéo lần lượt là \({S_1} = 8,{S_2} = 20\).