Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn Lan đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng \[OO' = 6\]\[{\rm{cm}}\], \[OA = 10\]\[{\rm{cm}}\], \[OB = 20\] \[{\rm{cm}}\], đường cong \[AB\] là một phần của parabol có đỉnh là điểm\[B\]. Tính thể tích của chiếc mũ (làm tròn đến hàng phần nguyên, đơn vị \({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\))

Phần giải chi tiết

Dựa vào đồ thị, ta thấy:

+ Parabol \(y = f\left( x \right)\) có đỉnh là \(A\left( {0;2} \right)\) nên \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + 2\)

Mặt khác, \(C\left( { - 4;0} \right)\) thuộc parabol \(y = f\left( x \right)\) nên \(y = f\left( x \right) =  - \frac{1}{8}{x^2} + 2\)

+ Parabol \(y = g\left( x \right)\) có đỉnh là \(B\left( {0; - 3} \right)\) nên \(y = g\left( x \right) = b{x^2} - 3\)

Mặt khác, \(C\left( { - 4;0} \right)\) thuộc parabol \(y = g\left( x \right)\) nên \(y = g\left( x \right) = \frac{3}{{16}}{x^2} - 3\)

+ Diện tích logo hình con cá là: \({S_1} = \int_{ - 5}^4 {\left| {f\left( x \right) - f\left( x \right)} \right|dx}  = \frac{{1345}}{{48}}\,\,\left( {d{m^2}} \right)\)

+ Diện tích phần được sơn màu trắng là: \({S_2} = 9.5 - {S_1} = \frac{{815}}{{48}}\,\,\left( {d{m^2}} \right)\)

Chi phí để sản xuất \(x\) sản phẩm bằng \(C\left( x \right) = \int {C'\left( x \right)} {\rm{d}}x = {x^3} - 2{x^2} + 10x + C\)

Mà chi phí cố định ban đầu để sản xuất là 500 nghìn đồng

Suy ra \(C\left( 0 \right) = 500 \Rightarrow C = 500\)\( \Rightarrow C\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 10x + 500\)

Khi bán \(x\) sản phẩm, số tiền thu được là: \(270x\) (nghìn đồng).

Do đó lợi nhuận thu được là: \(T\left( x \right) =  - {x^3} + 2{x^2} + 260x - 500\) (nghìn đồng).

Ta có \(T'\left( x \right) =  - 3{x^2} + 4x + 260 = 0 \Leftrightarrow x = 10{\rm{ }}\) hoặc \(x =  - \frac{{26}}{3}\) (loại).

Bảng biến thiên