Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn Lan đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng \[OO' = 6\]\[{\rm{cm}}\], \[OA = 10\]\[{\rm{cm}}\], \[OB = 20\] \[{\rm{cm}}\], đường cong \[AB\] là một phần của parabol có đỉnh là điểm\[B\]. Tính thể tích của chiếc mũ (làm tròn đến hàng phần nguyên, đơn vị \({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\))

Phần giải chi tiết

Dựa vào đồ thị, ta thấy:

+ Parabol \(y = f\left( x \right)\) có đỉnh là \(A\left( {0;2} \right)\) nên \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + 2\)

Mặt khác, \(C\left( { - 4;0} \right)\) thuộc parabol \(y = f\left( x \right)\) nên \(y = f\left( x \right) =  - \frac{1}{8}{x^2} + 2\)

+ Parabol \(y = g\left( x \right)\) có đỉnh là \(B\left( {0; - 3} \right)\) nên \(y = g\left( x \right) = b{x^2} - 3\)

Mặt khác, \(C\left( { - 4;0} \right)\) thuộc parabol \(y = g\left( x \right)\) nên \(y = g\left( x \right) = \frac{3}{{16}}{x^2} - 3\)

+ Diện tích logo hình con cá là: \({S_1} = \int_{ - 5}^4 {\left| {f\left( x \right) - f\left( x \right)} \right|dx}  = \frac{{1345}}{{48}}\,\,\left( {d{m^2}} \right)\)

+ Diện tích phần được sơn màu trắng là: \({S_2} = 9.5 - {S_1} = \frac{{815}}{{48}}\,\,\left( {d{m^2}} \right)\)

a) Đúng  theo định nghĩa

b) Sai

\[\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 4x} \right)} \right|_{ - 1}^2 = \frac{{16}}{3}\]

\[\begin{array}{l}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)\\ \Rightarrow F\left( 2 \right) = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  + F\left( 0 \right) = \frac{{16}}{3} + 1 = \frac{{19}}{3}\end{array}\]

c) Đúng

\[\int\limits_0^2 {af\left( x \right)dx}  = 32 \Leftrightarrow a.\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  = 32\]

\( \Leftrightarrow a.\frac{{16}}{3} = 32 \Leftrightarrow a = 6\)

d) Đúng

Đặt \(F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right).{e^{3x}}\) là một nguyên hàm của hàm số \({e^{3x}}.f\left( x \right)\)

Khi đó: \(F'\left( x \right) = {e^{3x}}.f\left( x \right) \Rightarrow 3.{e^{3x}}\left( {a{x^2} + bx + c} \right) + {e^{3x}}.\left( {2ax + b} \right) = {e^{3x}}.f\left( x \right)\)

\( \Rightarrow 3\left( {a{x^2} + bx + c} \right) + 2ax + b = f\left( x \right)\)

\( \Rightarrow 3a{x^2} + \left( {3b + 2a} \right)x + 3c + b = 2{x^2} - 3\)

Đồng nhất hai vế, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}3a = 2\\2a + 3b = 0\\b + 3c =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{3}\\b =  - \frac{4}{9}\\c =  - \frac{{23}}{{27}}\end{array} \right.\)

Vậy: \[\int\limits_0^2 {{e^{3x}}f\left( x \right)dx}  = \left. {{e^{3x}}\left( {\frac{2}{3}{x^2} - \frac{4}{9}x - \frac{{23}}{{27}}} \right)} \right|_0^2 = {e^6}.\frac{{25}}{{27}} + \frac{{23}}{{27}}\]