Một vật chuyển động với vận tốc \(v(t) = 1 + \sin t\,\,(\;{\rm{m/s}})\). Quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ \(t = 0\) (giây) đến thời điểm \(t = \frac{{3\pi }}{4}\) (giây) được tính theo công thức

Phần giải chi tiết

Trên hệ trục  \[Oxy\] xét đường tròn \[(C)\]có phương trình \[{x^2} + {y^2} = 2,{5^2}\]. Khi đó nửa phần trên trục hoành của \[(C)\] có phương trình \[y = \sqrt {2,{5^2} - {x^2}} \]. Xét hình phẳng \[(H)\]giới hạn bởi nửa phần trên trục hoành của \[(C)\], trục \[Ox\] và các đường thẳng \[x =  - 1,5,\,x = 2\]. Quay hình phẳng \[(H)\] quanh trục hoành ta được khối tròn xoay có thể tích bằng thể tích phần không gian phía trong của hầm biogas.

Chọn hệ toạ độ \[Oxy\] sao cho \[O\] trùng với giao điểm của \(AB\) và \(CD\); các tia  lần lượt trùng với các tia \(OB\),\(OD\). Ta có:

Phương trình đường tròn lớn tâm \[O\] là: \({x^2} + {y^2} = 25 \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt {25 - {x^2}} \).

Phương trình đường tròn nhỏ tâm \[I\] là: \({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 4 \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \).

Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường tròn là: \(4 - {\left( {x - 4} \right)^2} = 25 - {x^2} \Leftrightarrow x = \frac{{37}}{8}\).

Gọi \(S,{S_t},S'\) lần lượt là diện tích một mặt của chi tiết, diện tích đường tròn tâm \[O\] và  diện tích phần gạch sọc.

Ta có:  \(S = {S_t} - 4S' = 25\pi  - 4.\left( {2\int\limits_2^{\frac{{37}}{8}} {\sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} dx + 2\int\limits_{\frac{{37}}{8}}^5 {\sqrt {25 - {x^2}} dx} } } \right)\)