Cho phương trình \(4{x^2} + 4mx + m + 6 = 0\) \(\left( 1 \right)\). Tìm \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\)có nghiệm kép

a)      Ta có \(a = 1,\,b = - \left( {m - 1} \right),\,c = {m^2}\)

\(\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - {m^2} = 1 - 2m\)

b)      Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi :

\(\Delta ' = 1 - 2m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}\)

c)      Phương trình có nghiệm kép khi \(\Delta ' = 1 - 2m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\)

d) Phương trình vô nghiệm khi \[\Delta ' = 1 - 2m = 0\,\,hay\,m > \frac{1}{2}\]

a) Tìm giá trị của \(m\)để phương trình \(\left( 1 \right)\)có nghiệm \(x = 3\)

Vì \(x = 3\)là nghiệm của (1) nên thay \(x = 3\)vào phương trình ta có :

\(\begin{array}{l}{3^2} + \left( {2m + 3} \right).3 + 3m = 0\\9 + 6m + 9 + 3m = 0\\9m = - 18\\m = - 2\end{array}\)

Vậy để phương trình (1) có nghiệm \(x = 3\)thì \(m = - 2\)

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của \(m\)phương trình (1) luôn có nghiệm.

Phương trình (1) có :

\(\Delta = {\left( {2m + 3} \right)^2} - 4.1.3m = 4{m^2} + 12m + 9 - 12m = 4{m^2} + 9 > 0\left( {\forall m} \right)\)

Vậy phương trình (1) luôm có nghiệm (đpcm)