Trong không gian với hệ tọa độ\(Oxyz\) ,  cho 3 điểm \(A\left( {a;0;0} \right)\), \(B\left( {0;b;0} \right)\), \(C\left( {0;0;c} \right)\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) đều dương.

a)   Đúng

Theo phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ta có mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)

b)   Sai

Vì \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{3} = 1}\\{\frac{b}{3} = 2}\\{\frac{c}{3} = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\\{b = 6}\\{c = 9}\end{array}} \right.\)

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình \(\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1 \Leftrightarrow \)\(6x + 3y + 2z - 18 = 0\)

c)   Đúng

Vì \(H\left( {1;1;1} \right)\) là trực tâm \(\Delta ABC\) ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{H \in \left( {ABC} \right)}\\{\overrightarrow {HA} .\overrightarrow {BC}  = 0}\\{\overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AC}  = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1}\\{ - b + c = 0}\\{a - c = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\\{b = 3}\\{c = 3}\end{array}} \right.\)

Phương trình \(\left( {ABC} \right)\)là: \(x + y + z - 3 = 0\)

d)   Đúng

Giả sử mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cắt tia \[Ox\] tại điểm có hoành độ bằng \(a\) \(\left( {a > 0} \right)\) khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có dạng \(\frac{x}{a} + \frac{y}{{a + 2}} + \frac{z}{{a + 4}} = 1\).

Do \(\left( \alpha  \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2; - 2;3} \right)\) nên ta có \(\frac{2}{a} + \frac{{ - 2}}{{a + 2}} + \frac{3}{{a + 4}} = 1\)\( \Leftrightarrow a = 2\).

Vậy \(\left( \alpha  \right)\) cắt \[Ox,Oy,Oz\] lần lượt tại \(A\left( {2;0;0} \right)\), \(B\left( {0;4;0} \right)\),\(C\left( {0;0;6} \right)\).

Gọi \(d = d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right)\).

Áp dụng công thức tính nhanh ta có \(\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} = \frac{{49}}{{144}}\)\( \Rightarrow {d^2} = \frac{{144}}{{49}} \Rightarrow d = \frac{{12}}{7}\).

Vậy: \(T = m + n = 19\).