Trong tiết thể dục học về kĩ thuật chuyền bóng hơi, Nam và An đang tập chuyền bóng cho nhau, Nam ném bóng cho An đỡ, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang phải của Nam và rơi xuống vị trí cách An \(0,5m\) và cách Nam \(4,5m\) được mô tả bằng hình vẽ bên dưới

Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):ax + \frac{1}{2}y + cx + d = 0\) và vuông góc với mặt đất. Khi đó giá trị của \(a + c + d\) bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

a) Đúng.

\[\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right) = \left( {0;1;1} \right)\]

b) Đúng.

Ta có: \[\overrightarrow {AB}  = \left( {0;1;1} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {3;0; - 1} \right)\]

\[\overrightarrow a  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1;3; - 3} \right)\]

c) Sai.

Ta có: \[\overrightarrow {BC}  = \left( {3; - 1; - 2} \right)\]

Do đó \(\overrightarrow b  = 2\overrightarrow {BC} \) nên \(\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow b \) là hai vectơ cùng phương. Do đó \(\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow b \) không phải là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\]. 

d) Sai

Phương trình mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là: \[\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0\]

Mặt phẳng \[\left( P \right)\] song song với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] nên \[\left( P \right)\]có dạng:\[6x + 3y + 2z + d = 0{\rm{  }}\left( {d \ne  - 12} \right)\]

Vì \[\left( P \right)\] cách đều \[D\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] nên ta có:\[d\left( {D;\left( P \right)} \right) = d\left( {\left( {ABC} \right);\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow d\left( {D;\left( P \right)} \right) = d\left( {A;\left( P \right)} \right)\]\[ \Leftrightarrow \left| {36 + d} \right| = \left| {12 + d} \right| \Leftrightarrow d =  - 24\].