Trong tiết thể dục học về kĩ thuật chuyền bóng hơi, Nam và An đang tập chuyền bóng cho nhau, Nam ném bóng cho An đỡ, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang phải của Nam và rơi xuống vị trí cách An \(0,5m\) và cách Nam \(4,5m\) được mô tả bằng hình vẽ bên dưới

Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):ax + \frac{1}{2}y + cx + d = 0\) và vuông góc với mặt đất. Khi đó giá trị của \(a + c + d\) bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

\[\overrightarrow {AB}  = ( - 4;6;2) =  - 2(2; - 3; - 1)\]

\[\left( P \right)\] đi qua \[A\left( {5; - 4;2} \right)\] nhận \(\overrightarrow n  = (2; - 3; - 1)\) làm VTPT

Gọi  \(I\left( {a;b;c} \right)\), sao cho \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \) \( \Rightarrow I\) là trong tâm \(\Delta ABC\)\( \Rightarrow \) \(I\left( {1;1; - 1} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \)

\( = \left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right).\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right).\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right) + \left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right).\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)\)

\( = 3M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC} } \right) + \left( {\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {IC} .\overrightarrow {IA} } \right)\), (mà \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \))

\( = 3M{I^2} + \left( {\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {IC} .\overrightarrow {IA} } \right)\)

Vì điểm \(I,A,B,C\) cố định nên \(\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {IC} .\overrightarrow {IA} \) có giá trị không đổi.

Để \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \) có giá trị min \( \Leftrightarrow MI\) min.

Mà \(I\) cố định nên \(M\) là hình chiếu của \(I\) lên\(\left( {Oyz} \right)\), suy ra \(M\left( {0;1; - 1} \right)\).