Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), cạnh \(AB = 6\), \(AC = 8\) và \(M\)là trung điểm của cạnh \(AC\). Tính thể tích của hình nón thu được do tam giác \(BMC\) quanh quanh \(AB\).

a) Khi quay tam giác \[R = HC = 2\] xung quanh trục \(\Delta AHC\), ta thu được hình nón có bán kính đáy \(r = AC = a\), chiều cao \(h = AB = a\sqrt 3 \)và đường sinh là cạnh huyền \(l = BC\).

Xét tam giác \( = 2\sqrt 3 \) vuông tại \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}.AH\), theo pythagore, ta có:

\[\begin{array}{l}B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} = 2{a^2}\\ \Rightarrow BC = 2a \Rightarrow l = 2a\end{array}\]

Đường sinh của hình nón \[2a\] (đvđd)

b) Thể tích hình nón là: \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .{a^2}.a\sqrt 3  = \frac{{{a^3}\sqrt 3 \pi }}{3}\] (đvtt)

Gọi a là bán kính đáy hình nón;

\({V_1},{V_2}\) lần lượt là thể tích của hình nón trên lúc chứa đầy nước và khi chiều cao của nước bằng 1 dm;

h, \({V_3}\) lần lượt là chiều cao của nước, thể tích của hình nón dưới khi chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm;

R, r lần lượt là bán kính của hình nón trên của nước, bán kính của hình nón dưới của nước khi chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm.

Ta có: \(\frac{R}{a} = \frac{1}{2} \Rightarrow R = \frac{a}{2}\).

Thể tích nước của hình nón trên khi chiều cao bằng 1 là \({V_2} = {\textstyle{1 \over 3}}.1.\pi {\left( {{\textstyle{1 \over 2}}a} \right)^2} = \frac{{\pi {a^2}}}{{12}}.\)

Mặt khác: \(\frac{r}{a} = \frac{h}{2} \Rightarrow r = \frac{{ah}}{2}.\)

Do đó thể tích nước hình nón dưới \({V_3} = {\textstyle{1 \over 3}}.h.\pi {\left( {{\textstyle{h \over 2}}a} \right)^2} = \frac{{\pi {a^2}{h^3}}}{{12}}.\)

Thể tích nước của hình nón trên khi đầy nước \[{V_1} = {\textstyle{1 \over 3}}.2.\pi {a^2}.\]

Lại có: \({V_3} = {V_1} - {V_2} \Rightarrow \)\(\frac{{\pi {a^2}{h^3}}}{{12}} = \)\[{\textstyle{1 \over 3}}.2.\pi {a^2} - \]\(\frac{{\pi {a^2}}}{{12}}\)\( \Leftrightarrow 1 + {h^3} = 8 \Leftrightarrow h = \sqrt[3]{7}.\)