Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 2t\\z = 1 - t\end{array} \right.\)và đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 6}}{2} = \frac{{z + 3}}{{ - 2}}\). Gọi giao điểm của hai đường thẳng \(\Delta \) và \(d\) là \(M\left( {a;b;c} \right)\). Tính \(a + b + c\).

Đường thẳng  \({\Delta _1}\) có một VTCP là: \[\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 1;2} \right)\]  và đi qua điểm \[A\left( {1;2; - 1} \right)\].Vậy mệnh đề A. Sai.

Ta có: \(\frac{{10 - 4}}{3} = \frac{{1 + 1}}{1} = \frac{{ - 2}}{{ - 1}}\)  là mệnh đề đúng. Vậy mệnh đề B. Đúng.

Ta có : \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {2;1; - 5} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3;4; - 2} \right)\). Dễ thấy: \(\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\). Vậy mệnh đề C. Đúng.

Ta có: Đường thẳng  \({\Delta _1}\) có một VTCP là: \[\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 1;2} \right)\]  và đi qua điểm \[A\left( {1;2; - 1} \right)\]. Đường thẳng  \({\Delta _2}\) có một VTCP là: \[\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {3;1; - 1} \right)\]  và đi qua điểm \[M\left( {10;1; - 2} \right)\].

Phương trình mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + 3t\\z =  - 1 - 2t\end{array} \right..\)

Lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình quỹ đạo chuyển động của viên đạn ta thấy tọa độ các điểm \(M,N,Q\) không thỏa mãn phương trình. Do đó viên đạn không bắn trúng mục tiêu ở các điểm này.

Thay tọa độ điểm \(P\) vào phương trình mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn ta có \(\left\{ \begin{array}{l}4 = 2 + t\\7 = 1 + 3t\\ - 5 =  - 1 - 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 2\).