Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \(A\left( {2;\,1;\,3} \right)\), đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{2}\) và mặt phẳng \[\left( P \right):x + y - 2z + 2 = 0\]. Phương trình chính tắc của đường thẳng \[\Delta \] đi qua \(A\), song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có dạng:\(\frac{{x + a}}{b} = \frac{{y - 5}}{c} = \frac{{z + d}}{3}\). Giá trị của biểu thức \(M = a + b + c + d\)bằng bao nhiêu?

Cách 1:

Ta có: Trong thời gian từ \(0\) đến \(3\)giây phương trình mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn là:

                                        \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + \frac{1}{3}t\\y = 2 + \frac{1}{3}t\\z = 4 + \frac{2}{3}t\end{array} \right.\)

với \(t = 3\) ta được điểm \[M\left( {2;\,3;\,6} \right)\].

Cách 2: Sau 3 giây viên đạn sẽ tới mục tiêu là điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {AM}  = 3\overrightarrow v \)

* Phương án a) đúng.

* Phương án b) đúng.

* Phương án c) sai: Đường thẳng \[\Delta \] đi qua điểm \[A\] và song song với đường thẳng \[d\] nên có một vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow u  = \left( {2; - 1;1} \right)\]. Suy ra phương trình tham số đường thẳng \[\Delta \] là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 - t\\z = 4 + t\end{array} \right.,\,t \in \mathbb{R}\].

* Phương án d) đúng:  Đường thẳng \[\Delta \] đi qua điểm \[A\] và song song với đường thẳng \[d\] có phương trình chính tắc là: \[\frac{x}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{1}\].