Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \(A\left( {2;\,1;\,3} \right)\), đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{2}\) và mặt phẳng \[\left( P \right):x + y - 2z + 2 = 0\]. Phương trình chính tắc của đường thẳng \[\Delta \] đi qua \(A\), song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có dạng:\(\frac{{x + a}}{b} = \frac{{y - 5}}{c} = \frac{{z + d}}{3}\). Giá trị của biểu thức \(M = a + b + c + d\)bằng bao nhiêu?

Gọi \(B = \Delta  \cap \left( P \right) \Rightarrow \)tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y + z - 6 = 0\\\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2;1;2} \right)\)

Vì \(d \subset \left( P \right)\) và \(d\) cắt \(\Delta  \Rightarrow B \in d \Rightarrow d\) đi qua \(A\left( {1;1;3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;0; - 1} \right)\) làm một VTCP.

\(d:\,\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{4}\)\( \Rightarrow d\) qua \(M\left( {2;0;0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;4} \right)\) làm một VTCP

\(\Delta :\,\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{4}\)\( \Rightarrow \Delta \) qua \(N\left( {1;2; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;4} \right)\) làm một VTCP

Thế tọa độ điểm \(M\left( {2;0;0} \right)\)vào đường thẳng \(\Delta \), ta được: \(\frac{1}{2} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 1}} \ne \frac{1}{4}\)\( \Rightarrow d//\Delta \).

\(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 1;2; - 1} \right)\). \(\left( P \right)\) chứa \(d\) và \(\Delta \)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {MN} } \right] = \left( {7; - 7;7} \right)\)