Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai  điểm \(A\left( {1; - 2;1} \right),B\left( {0;1; - 3} \right)\) và mặt phẳng \[\left( P \right):x - y - 3 = 0\].

a)   Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình \[\left( P \right)\] ta có: \[\left( P \right):1 + 2 - 3 = 0\](đẳng thức đúng)

Vậy điểm \(A\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên  a) đúng.

b) Ta có phương trình mặt phẳng \[\left( P \right):x - y - 3 = 0\] khuyết ẩn \(z\) nên \[\left( P \right)\] song song hoặc chứa trục \(Oz\). Mặt khác điểm \(O\) không thuộc \[\left( P \right)\] nên \[\left( P \right)\] song song với trục \(Oz\).  Nên b) đúng

c)

\(\left. \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;3; - 4} \right)\\\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 1;0} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 4; - 4; - 2} \right) =  - 2\left( {2;2;1} \right)\)

Mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] đi qua \(A\left( {1; - 2;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) làm VTPT có phương trình

\(2x + 2y + z + 1 = 0\) nên  c) sai

d)

Ta có, \[\left( Q \right)\]song song \[\left( P \right)\]nên phương trình mặt phẳng \[\left( Q \right):x - y + C = 0\]; \[C \ne  - 3\]

Chọn \[M\left( {3;\,0\,;0\,} \right) \in \left( P \right)\]

Ta có \[d\left( {\left( P \right)\,;\,\left( Q \right)} \right) = d\left( {M\,;\,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {3 + C} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 2\sqrt 2 \]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}C = 1\\C =  - 7\end{array} \right.\]( thỏa mãn)

\[C = 1 \Rightarrow \left( Q \right):x - y + 1 = 0\] khi đó \[\left( Q \right)\] cắt \[Ox\] tại điểm \[{M_1}\left( { - 1\,;\,0\,;\,0} \right)\]có hoành độ âm nên trường hợp này \[\left( Q \right)\] không thỏa đề bài.

\[C =  - 7 \Rightarrow \left( Q \right):x - y - 7 = 0\] khi đó \[\left( Q \right)\]cắt \[Ox\] tại điểm \[{M_2}\left( {7\,;\,0\,;\,0} \right)\]có hoành độ dương do đó \[\left( Q \right):x - y - 7 = 0\] thỏa đề bài.