Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai  điểm \(A\left( {1; - 2;1} \right),B\left( {0;1; - 3} \right)\) và mặt phẳng \[\left( P \right):x - y - 3 = 0\].

Vì \(M \in d \Rightarrow M\left( {1 + 2t; - t;1 - t} \right)\)

Mà \(M \in \left( P \right)\) nên: \[1 + 2t - \left( { - t} \right) + 1 - t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow M\left( {5; - 2; - 1} \right)\]

a)   Thay tọa độ điểm \(M\) vào  phương trình đường thẳng \(d\) ta có: \(d:\frac{1}{1} = \frac{{ - 3}}{{ - 1}} = \frac{3}{2}\)( không thỏa mãn). Vậy  \(M \notin d\) nên a sai.

b)  Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với \(\left( P \right)\) nên \(\Delta \) có VTCP là \({\overrightarrow u _{_\Delta }} = {\overrightarrow n _{_P}} = \left( {1;2; - 2} \right)\)

\(\Delta \) đi qua \(M\)  nên phương trình tham số của \(\Delta \) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 3 + 2t\\z = 4 - 2t\end{array} \right.\) suy ra  b) sai

c)   Đường thẳng \(d\) có VTCP  \({\overrightarrow u _{_d}} = \left( {1; - 1;2} \right)\), \(\left( P \right)\) có VTPT là \({\overrightarrow n _{_P}} = \left( {1;2; - 2} \right)\)

\( \Rightarrow {\overrightarrow u _{_d}}.{\overrightarrow n _{_P}} = 1 - 2 - 4 =  - 5 \ne 0\) nên d cắt  \(\left( P \right)\) suy ra  c) sai

d) 

Gọi \(d'\) là hình chiếu của \(d\) lên \(\left( P \right)\);

· Tọa độ \(A = d \cap \left( P \right)\) thỏa \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2z + 2 = 0\\\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2} = \frac{{x + 2y - 2z + 2}}{{1 - 2 - 4}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;0;1} \right)\).

· Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa \(d\) và  vuông góc với \(\left( P \right)\)

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1; - 1;2} \right).\)

Mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_p}}  = (1;2; - 2)\).

 Suy ra \(\left( Q \right)\) có VTPT là  \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = ( - 2;4;3)\).

·  Khi đó do \(d' = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\) nên \(\)\(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = (14;1;8)\) là vectơ chỉ phương của \((d')\).

· Đường thẳng \(d'\) đi qua \(A\left( {0;0;1} \right)\) và có VTCP là \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left( {14;1;8} \right)\) có phương trình chính tắc  là  \[d':\frac{x}{{14}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{8}.\]