Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 4y - 4z = 0\) và điểm \(A\left( {4;4;0} \right)\). Gọi \(B\) là điểm thuộc \(\left( S \right)\) sao cho tam giác \(OAB\) là tam giác đều.

a)Sai

Các hệ số \(a = 2;b = 2;c = 2;d = 0\) nên mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;2;2} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 3 \).

b) Sai

\(IA = \sqrt {{{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2}}  = 2\sqrt 3  = R\) nên điểm \(A\) nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\).

c) Đúng

\(OI = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 3  = R\) nên điểm \(O\) nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\).

d) Đúng

Theo kết quả câu (b) và (c), điểm O và \(A\) cùng thuộc \(\left( S \right)\).

Tam giác \(OAB\) đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R' = \frac{{OA}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\).

\(d\left( {I;\left( {OAB} \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {{\left( {R'} \right)}^2}}  = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\).

Mặt phẳng \(\left( {OAB} \right)\) đi qua O  nên có phương trình dạng : \(ax + by + cz = 0{\rm{ }}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} > 0} \right){\rm{ }}\left( * \right)\)

Do \(\left( {OAB} \right)\) đi qua A, suy ra: \(4a + 4b = 0 \Leftrightarrow b =  - a\).

Lúc đó: \({\rm{d}}\left( {I;\left( {OAB} \right)} \right) = \frac{{\left| {2\left( {a + b + c} \right)} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| {2c} \right|}}{{\sqrt {2{a^2} + {c^2}} }} \Leftrightarrow \frac{{\left| {2c} \right|}}{{\sqrt {2{a^2} + {c^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\)