Người ta muốn thiết kế một bồn chứa khí hóa lỏng hình cầu bằng phần mềm 3D (hình vẽ minh họa). Biết phương trình bề mặt của bồn chứa là \(\left( S \right):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 36\). Nắp của bồn chứa nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right):z = 9\). Khoảng cách từ đáy đến nắp bồn chứa bằng .............

a)   Thay tọa độ điểm \(M\) vào  phương trình đường thẳng \(d\) ta có: \(d:\frac{1}{1} = \frac{{ - 3}}{{ - 1}} = \frac{3}{2}\)( không thỏa mãn). Vậy  \(M \notin d\) nên a sai.

b)  Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với \(\left( P \right)\) nên \(\Delta \) có VTCP là \({\overrightarrow u _{_\Delta }} = {\overrightarrow n _{_P}} = \left( {1;2; - 2} \right)\)

\(\Delta \) đi qua \(M\)  nên phương trình tham số của \(\Delta \) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 3 + 2t\\z = 4 - 2t\end{array} \right.\) suy ra  b) sai

c)   Đường thẳng \(d\) có VTCP  \({\overrightarrow u _{_d}} = \left( {1; - 1;2} \right)\), \(\left( P \right)\) có VTPT là \({\overrightarrow n _{_P}} = \left( {1;2; - 2} \right)\)

\( \Rightarrow {\overrightarrow u _{_d}}.{\overrightarrow n _{_P}} = 1 - 2 - 4 =  - 5 \ne 0\) nên d cắt  \(\left( P \right)\) suy ra  c) sai

d) 

Gọi \(d'\) là hình chiếu của \(d\) lên \(\left( P \right)\);

· Tọa độ \(A = d \cap \left( P \right)\) thỏa \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2z + 2 = 0\\\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2} = \frac{{x + 2y - 2z + 2}}{{1 - 2 - 4}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;0;1} \right)\).

· Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa \(d\) và  vuông góc với \(\left( P \right)\)

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1; - 1;2} \right).\)

Mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_p}}  = (1;2; - 2)\).

 Suy ra \(\left( Q \right)\) có VTPT là  \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = ( - 2;4;3)\).

·  Khi đó do \(d' = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\) nên \(\)\(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = (14;1;8)\) là vectơ chỉ phương của \((d')\).

· Đường thẳng \(d'\) đi qua \(A\left( {0;0;1} \right)\) và có VTCP là \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left( {14;1;8} \right)\) có phương trình chính tắc  là  \[d':\frac{x}{{14}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{8}.\]

Vì \(M \in d \Rightarrow M\left( {1 + 2t; - t;1 - t} \right)\)

Mà \(M \in \left( P \right)\) nên: \[1 + 2t - \left( { - t} \right) + 1 - t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow M\left( {5; - 2; - 1} \right)\]