Cho ba điểm \(A\left( {3;0;0} \right),B\left( {0; - 6;0} \right),C\left( {0;2; - 3} \right).\) Tính khoảng cách \[d\] từ trọng tâm \[G\] của tam giác \(ABC\)đến mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right).\]

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {2\,;\, - 3\,;\,1} \right)\).

Điểm chung của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) là \(A\left( { - 4\,;\,5\,;\,0} \right)\).

Phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \)\(:\frac{{x + 4}}{2} = \frac{{y - 5}}{{ - 3}} = \frac{z}{1}\).

a) Đúng.

Phương trình đường thẳng \(AB\) nhận \(\overrightarrow {AB} \left( {1;\,1;\,1} \right)\)làm vtcp:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y =  - 3 + t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.,t \in \mathbb{R}\).

b) Đúng.

Đường thẳng \(AB\)có vtpt \(\overrightarrow {AB} \left( {1;\,1;\,1} \right)\)

 Đường thẳng \(\Delta \): \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) có vtcp \(\overrightarrow u \left( {1;1;1} \right)\)

Và \(A\left( {0; - 3;2} \right) \notin \Delta \) nên \(AB//\Delta \).

c) Sai.

                 Đường thẳng \(\Delta \): \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\)  đi qua điểm \(M\left( {2\,;\, - 1\,;\,2} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {1\,;\,1\,;\,1} \right)\).

                 Ta có \(\overrightarrow {AM}  = \left( {2\,;\,2\,;\,0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AM} \,,\,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {2\,;\, - 2\,;\,0} \right)\).

                 Khi đó \(d\left( {A\,,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} \,,\,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {0^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\).

d) Đúng.

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên đường thẳng \(\Delta \), khi đó \(H\left( {2 + t\,;\, - 1 + t\,;\,2 + t} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {OH}  = \left( {2 + t\,;\, - 1 + t\,;\,2 + t} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {1\,;\,1\,;\,1} \right)\).

Vì \(OH \bot \Delta \) nên \(\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{u_\Delta }}  = 0 \Leftrightarrow 2 + t - 1 + t + 2 + t = 0 \Leftrightarrow t =  - 1\).