b) Điểm \(O\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\).
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 5 lớp 12 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Đúng:
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), suy ra \(I\left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\,\frac{{11}}{2}} \right)\).
Và \(\overrightarrow {AB} = \left( {4\,;\,3\,;\,5} \right) \Leftrightarrow AB = \sqrt {{4^2} + {3^2} + {5^2}} = 5\sqrt 2 \).
Vậy mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\,\frac{{11}}{2}} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).
b) Sai:
Ta có \[\overrightarrow {OI} = \left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\,\frac{{11}}{2}} \right) \Rightarrow OI = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\frac{7}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{11}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {206} }}{2} > \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\].
Suy ra điểm \(O\) nằm ngoài mặt cầu.
c) Sai:
Cách 1. Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:
Ta có đường thẳng có \(M\left( {3\,;\,\frac{3}{2}\,;\,\frac{5}{2}} \right)\) và \(\overrightarrow u = \left( {1\,;\,2\,;\, - 2} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {IM} = \left( {0\,;\, - 2\,;\, - 3} \right)\)\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {IM} \,,\,\overrightarrow u } \right] = \left( {10\,;\, - 3\,;\,2} \right)\).
Do đó \(d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} \,,\,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{\sqrt {{{10}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {113} }}{3} > \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy đường thẳng \(d\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).Cách 2. Sử dụng số giao điểm của đường thẳng và mặt cầu :
Ta có phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{{11}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\).
Thay \[x = 3 + t\,;y = \frac{3}{2} + 2t\,;\,\,z = \frac{5}{2} - 2t\] vào \(\left( S \right)\) ta có
\(\begin{array}{l}{\left( {3 + t - 3} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{2} + 2t - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{5}{2} - 2t - \frac{{11}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {t^2} + {\left( {2t - 2} \right)^2} + {\left( {2t + 3} \right)^2} = \frac{{25}}{2}\end{array}\)
\( \Leftrightarrow 9{t^2} + 4t + \frac{1}{2} = 0\).
Vì phương trình \(9{t^2} + 4t + \frac{1}{2} = 0\) vô nghiệm nên đường thẳng \(d\) không cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) hay đường thẳng \(d\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).
d) Đúng:
Gọi giao tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) là đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính \(r\).
Sử dụng công thức \({R^2} = {r^2} + {\left[ {d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right)} \right]^2} \Rightarrow r = \sqrt {{R^2} - {{\left[ {d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right)} \right]}^2}} \).
Ta có \(d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.3 + 4.\frac{7}{2} - 8} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3\).
Do đó \(r = \sqrt {{R^2} - {{\left[ {d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right)} \right]}^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {3^2}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\).
Vậy mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,3x + 4y - 8 = 0\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn đường kính \(\sqrt {14} \).Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {2\,;\, - 3\,;\,1} \right)\).
Điểm chung của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) là \(A\left( { - 4\,;\,5\,;\,0} \right)\).
Phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \)\(:\frac{{x + 4}}{2} = \frac{{y - 5}}{{ - 3}} = \frac{z}{1}\).
Nên \(T = \left( {a + b + c + 3.d} \right).2024 = \left( {4 + 5 + 2 - 9} \right).2024 = 4048\).Câu 2
d) Hình chiếu vuông góc của điểm \(O\left( {0;\,0;\,0} \right)\) lên đường thẳng \(\Delta \):
\(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) là \(H\left( {1; - 2;1} \right)\).Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Đúng.
Phương trình đường thẳng \(AB\) nhận \(\overrightarrow {AB} \left( {1;\,1;\,1} \right)\)làm vtcp:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = - 3 + t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.,t \in \mathbb{R}\).
b) Đúng.
Đường thẳng \(AB\)có vtpt \(\overrightarrow {AB} \left( {1;\,1;\,1} \right)\)
Đường thẳng \(\Delta \): \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) có vtcp \(\overrightarrow u \left( {1;1;1} \right)\)
Và \(A\left( {0; - 3;2} \right) \notin \Delta \) nên \(AB//\Delta \).
c) Sai.
Đường thẳng \(\Delta \): \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) đi qua điểm \(M\left( {2\,;\, - 1\,;\,2} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1\,;\,1\,;\,1} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {2\,;\,2\,;\,0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AM} \,,\,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {2\,;\, - 2\,;\,0} \right)\).
Khi đó \(d\left( {A\,,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} \,,\,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {0^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\).
d) Đúng.
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên đường thẳng \(\Delta \), khi đó \(H\left( {2 + t\,;\, - 1 + t\,;\,2 + t} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {OH} = \left( {2 + t\,;\, - 1 + t\,;\,2 + t} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1\,;\,1\,;\,1} \right)\).
Vì \(OH \bot \Delta \) nên \(\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0 \Leftrightarrow 2 + t - 1 + t + 2 + t = 0 \Leftrightarrow t = - 1\).
Do đó tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm \(O\left( {0;\,0;\,0} \right)\) lên đường thẳng \(\Delta \) là \(H\left( {1; - 2;1} \right)\).Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A.\(\left( Q \right): - x - y + z - 6 = 0\).
B.\(\left( Q \right):x + y - z - 6 = 0\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
b)Phương trình mặt cầu đi qua \(O\,,\,A\,,\,B\,,\,C\)là
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 12\).Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập