Khi gắn hệ trục tọa độ \[Oxyz\](đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimet) vào một ngôi nhà 1 tầng có diện tích \[50{m^2}\], người ta thấy rằng mặt trên và mặt dưới của mái nhà thuộc các mặt phẳng vuông góc với trục \[Oz\]. Biết rằng các vị trí \[A\left( {3;4;33} \right)\] và \[B\left( {9;8;35} \right)\] lần lượt thuộc mặt dưới, mặt trên của mái nhà. Độ dày của mái nhà được tính bằng khoảng cách giữa mặt trên và mặt dưới của mái nhà đó. Biết giá tiền \[1{m^3}\] bê tông tươi là 1.100.000 (đồng), tiền công đổ mái là \[100.000\,\]đồng trên \(1\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Chi phí chủ nhà phải trả để đổ được mái bằng bao nhiêu (đơn vị tính triệu đồng).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {2\,;\, - 3\,;\,1} \right)\).

Điểm chung của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) là \(A\left( { - 4\,;\,5\,;\,0} \right)\).

Phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \)\(:\frac{{x + 4}}{2} = \frac{{y - 5}}{{ - 3}} = \frac{z}{1}\).

a) Đúng:

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), suy ra \(I\left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\,\frac{{11}}{2}} \right)\).

Và \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4\,;\,3\,;\,5} \right) \Leftrightarrow AB = \sqrt {{4^2} + {3^2} + {5^2}}  = 5\sqrt 2 \).

Vậy mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\,\frac{{11}}{2}} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).

b) Sai:

Ta có \[\overrightarrow {OI}  = \left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\,\frac{{11}}{2}} \right) \Rightarrow OI = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\frac{7}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{11}}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {206} }}{2} > \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\].

Suy ra điểm \(O\) nằm ngoài mặt cầu.

c) Sai:

Cách 1. Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:

Ta có đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{c}x=3+t\\ y=\frac{3}{2}+2t\\ z=\frac{5}{2}-2t\end{array}\right.$ có \(M\left( {3\,;\,\frac{3}{2}\,;\,\frac{5}{2}} \right)\) và \(\overrightarrow u  = \left( {1\,;\,2\,;\, - 2} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {IM}  = \left( {0\,;\, - 2\,;\, - 3} \right)\)\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {IM} \,,\,\overrightarrow u } \right] = \left( {10\,;\, - 3\,;\,2} \right)\).

Do đó \(d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} \,,\,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{\sqrt {{{10}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {113} }}{3} > \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).