Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá \(300\) sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất \(x\) sản phẩm \(\left( {1 \le x \le 300} \right)\) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là \(F\left( x \right) = - 7{x^2} + 1700x\) (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là \(G\left( x \right) = 0,004{x^2} - 1,6x + 500 + \frac{{16000}}{x}\) (nghìn đồng). Lợi nhuận thu được của doanh nghiệp (tính theo đơn vị triệu đồng) đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

Đáp án: 3.

Gọi \(O,I\) lần lượt là trung điểm của \(AC,AB\) và \(H = BO \cap CI.\)

Kẻ \(HK \bot SC\) tại \(K.\)

Ta có:

\(\widehat {ABC} = 60^\circ \Rightarrow \Delta ABC\) đều \( \Rightarrow CI \bot AB\), mà \(AB \bot SC \Rightarrow AB \bot (SCI)\) nên \(AB \bot SI\) \( \Rightarrow \Delta SAB\)cân tại \(S\) (trung tuyến còn đường cao).

Suy ra \(SA = SB\)\(,\Delta ABC,\Delta SAC\)đều nên \(SABC\) là tứ diện đều. Khi đó, \(SH \bot (ABCD).\)

Vì

\( \Rightarrow HK \bot (SCD) \Rightarrow {\rm{d}}(H,(SCD)) = HK\)

Ta lại có

\( \Rightarrow {\rm{d}}(AB,SD) = {\rm{d}}(AB,(SCD)) = {\rm{d}}(B,(SCD)) = \frac{3}{2}{\rm{d}}(H,(SCD)) = \frac{3}{2}HK.\)

Tính \(HK.\)

Ta có \(CH = \frac{2}{3}CI = \frac{2}{3}.\frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 6 \Rightarrow HK = \frac{{CH.HS}}{{SC}} = \frac{{CH\sqrt {S{C^2} - C{H^2}} }}{{SC}} = 2.\)

Vậy \({\rm{d}}(AB,SD) = \frac{3}{2}.2 = 3.\)

a) Tên lửa đi từ điểm \[O\left( {0;0;0} \right)\] đến điểm \[A\left( {140;60;6} \right)\] trong 8 phút nên quãng đường đi được là \[OA = \sqrt {{{140}^2} + {{60}^2} + {6^2}} = 152,43 \approx 152(km)\]

Nên a) đúng.

b) Ở phút thứ 4 tên lửa ở vị trí B, do hướng và vận tốc không đổi nên quãng đường tên lửa bay đc 4 phút bằng nửa quãng đường OA. Do đó: \[\overrightarrow {OB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} = \left( {70;30;3} \right) \Rightarrow B\left( {70;30;3} \right)\]. Vậy ở phút thứ 4 độ cao của tên lửa là \[3km\] là đúng.

c) Sau 12 phút kể từ lúc phóng, tên lửa ở vị trí C. Do hướng và vận tốc không đổi nên quãng đường tên lửa bay đc sau 12 phút bằng \[\frac{3}{2}\]quãng đường OA. Do đó : \[\overrightarrow {OC} = \frac{3}{2}\overrightarrow {OA} = \left( {210;90;9} \right) \Rightarrow C\left( {210;90;9} \right)\].

Tọa độ của tên lửa sau 12 phút kể từ lúc phóng là \[\left( {210;90;9} \right)\], nên ý c) sai.

d) Sau 10 phút tiếp theo kể từ vị trí \[A\] tên lửa đến điểm D. Khi đó thời gian từ O tới D là 18 phút. Do hướng và vận tốc không đổi nên quãng đường tên lửa bay đc sau 18 phút bằng \[\frac{9}{4}\]quãng đường OA. Do đó : \[\overrightarrow {OD} = \frac{9}{4}\overrightarrow {OA} = \left( {315;135;13,5} \right) \Rightarrow D\left( {315;135;13,5} \right)\].

Vậy sau 10 phút tiếp theo kể từ vị trí \[A\] tên lửa đạt độ cao là \[13,5km\] là đúng