Cho hàm số \[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{2}{\rm{     khi }}x \le 1\\ax + b{\rm{ khi }}x > 1\end{array} \right.\]. Biết hàm số có đạo hàm tại \(x = 1\). Khi đó:

Hàm số liên tục tại \(x = 1\) nên ta có \[a + b = \frac{1}{2}\].

Hàm số có đạo hàm tại \(x = 1\) nên giới hạn 2 bên của \[\frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\] bằng nhau và ta có:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ax + b - \left( {a.1 + b} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{a\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} a = a\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{1}{2}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x + 1} \right)}}{2} = 1\]