Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 - t}\\{z = 1 - 3t}\end{array}} \right.\). Đường thẳng Δ đi qua gốc tọa độ \(O\), vuông góc với trục hoành \(Ox\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình là:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \[10\,{\rm{cm}}\]. Biết \(SC = 10\sqrt 5 \,{\rm{cm}}\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \[SA,CD\]. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(BD\) và \[MN\] bằng

Bạn Nam cần thiết kế hai dụng cụ học tập A và B; Mỗi dụng cụ học tập A cần 9 giờ công để chế tạo và 1 giờ công để hoàn thiện. Mỗi dụng cụ học tập B cần 12 giờ công để chế tạo và 3 giờ công để hoàn thiện. Thời gian làm dụng cụ học tập tối đa ở các khâu chế tạo và hoàn thiện lần lượt là 180 giờ và 30 giờ. Bạn Nam kiếm được lợi nhuận 80 nghìn đồng trên mỗi mẫu A và 120 nghìn đồng trên mỗi mẫu B; bạn Nam cần lên kế hoạch thiết kế số lượng dụng cụ học tập mỗi loại sao cho lợi nhuận thu được là cao nhất trong thời gian cho phép. Hỏi số tiền (đơn vị: nghìn đồng) bạn Nam có được là bao nhiêu?

Cho phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2my + 3{m^2} - 2m = 0\] với \[m\] là tham số. Tổng tất cả các giá trị nguyên của \[m\] để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu bằng

Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 6 + 5t\\y = 2 + t\\z = 1\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 2y + 1 = 0.\) Góc hợp bởi giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( {1;{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu}  - 1} \right)\); \(B\left( { - 1;{\mkern 1mu} 0;{\mkern 1mu} 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):{\mkern 1mu} \,x + 2y - z + 1 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) qua \(A,{\mkern 1mu} B\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).