Một hộp có 20 thể cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số \[1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5\,;\,\,...\,;\,\,20;\] hai thẻ khác nhau thì ghi số khác nhau .

Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của mỗi biến cố  sau:

a) “Số xuất hiện trên thẻ  được rút ra là số có chữ số tận cùng là 2”;

b) “Số xuất hiện trên thẻ  được rút ra là số có hai chữ số với tích các chữ số bằng 4”.

Hướng dẫn giải

a) Với \(x \ne 0,\,\,x \ne  \pm 1\), ta có:

\[K = \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{{{x^2} - 4x - 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) \cdot \frac{{x + 3}}{x}\]

\[ = \left[ {\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} + \frac{{{x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{x + 3}}{x}\]

\[ = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} + {x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 3}}{x}\]

\[ = \frac{{{x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 2x - 1 + {x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 3}}{x}\]

\[ = \frac{{4x + {x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 3}}{x}\]

\[ = \frac{{{x^2} - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 3}}{x} = \frac{{x + 3}}{x}.\]

Vậy với \(x \ne 0,\,\,x \ne  \pm 1\) thì \(K = \frac{{x + 3}}{x}.\)

b) Ta có \(K = \frac{{x + 3}}{x} = 1 + \frac{3}{x}.\)

Để biểu thức \(K\) nhận giá trị nguyên thì \(\frac{3}{x} \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \)Ư\[\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 3} \right\}\] và \(x \ne 0,\,\,x \ne  \pm 1\),

Do đó, \(x =  \pm 3\) thì biểu thức \(K\) nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Ta có \(xy + z = xy + z\left( {x + y + z} \right) = xy + zx + zy + {z^2} = \left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right).\)

Tương tự, ta có

\(yz + x = \left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right).\)

\(zx + y = \left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right).\)

Thế vào \(P\), ta được

\(P = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{xy + z}} \cdot \frac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{{yz + x}} \cdot \frac{{{{\left( {z + x} \right)}^2}}}{{zx + y}}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {z + x} \right)}^2}}}{{\left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}{{\left( {y + z} \right)}^2}{{\left( {z + x} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}{{\left( {y + z} \right)}^2}{{\left( {z + x} \right)}^2}}} = 1.\)

Vậy giá trị biểu thức \(P\) không phụ thuộc vào biến giá trị của biến.