Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để phương trình \({x^2} - 5x + 7 + 2m = 0\) có nghiệm thuộc đoạn \([1;5]\).

Ta có \({x^2} - 5x + 7 + 2m = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 7 =  - 2m\,(*)\)

Phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của parabol \((P):y = {x^2} - 5x + 7\) và đường thẳng \(y =  - 2m\) (song song hoặc trùng với trục hoành).

Ta có bảng biên thiên của hàm số \(y = {x^2} - 5x + 7\) trên đoạn \([1;5]\) như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(x \in [1;5]\) thì \(y \in \left[ {\frac{3}{4};7} \right]\).

Do đó để phương trình \(\left( {^*} \right)\) có nghiệm \(x \in [1;5] \Leftrightarrow \frac{3}{4} \le  - 2m \le 7 \Leftrightarrow  - \frac{3}{8} \ge m \ge  - \frac{7}{2}\).