Đề kiểm tra Hàm số bậc hai (có lời giải) - Đề 3

Chọn C

\[\left( P \right)\] có đỉnh là \(S\left( {1;\;1} \right)\); trục đối xứng là đường thẳng \(x = 1\) nên C sai.

và \[\left( P \right)\] đi qua điểm \(M\left( { - 1;\;9} \right)\)\( \Rightarrow \) B, D đều đúng.

Xét phương trình \(2{x^2} - 4x + 3 = 0\) vô nghiệm trên \(\mathbb{R}\) nên \[\left( P \right)\]không có giao điểm với trục hoành\( \Rightarrow \) A đúng.

Chọn D

Trục đối xứng của \[\left( P \right)\] có dạng:

\(x =  - \frac{b}{{2a}} =  - 3\)\( \Leftrightarrow  - \frac{3}{{2a}} =  - 3\)\( \Leftrightarrow  - 3 =  - 6a\)\( \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}\).

Vậy \[\left( P \right)\] có phương trình: \(y = \frac{1}{2}{x^2} + 3x - 2\).

Chọn B

Vì parabol \[y = a{x^2} + bx + 4\]có trục đối xứng là đường thẳng \(x = \frac{1}{3}\)và đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\)

Nên ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{\rm{a}} + b + 4 = 3\\ - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{a}} + b =  - 1\\2a + 3b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3\\b = 2\end{array} \right.\]

Do đó: \(a + 2b =  - 3 + 4 = 1\)

Chọn D

Đồ thị hàm số \(y = m{x^2} - 2mx - {m^2} - 1\)\(\left( {m \ne 0} \right)\) có đỉnh là \(I\left( {1;\; - {m^2} - m - 1} \right)\).

Để \(I\left( {1;\; - {m^2} - m - 1} \right)\) nằm trên đường thẳng \(y = x - 2\) thì \( - {m^2} - m - 1 =  - 1\) \( \Leftrightarrow {m^2} + m = 0\)\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0{\rm{ }}\left( l \right)\\m =  - 1{\rm{ }}\left( n \right)\end{array} \right.\]. Vậy \[m =  - 1\]\[ \in \left( { - 2;\;2} \right)\].

Chọn C

Ta có: \({x_I} =  - 1 \Rightarrow  - \frac{4}{{2a}} =  - 1 \Rightarrow a = 2.\)

Hơn nữa: \(I \in \left( P \right)\) nên \( - 5 = a - 4 - b \Rightarrow b = 3.\)

Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\) là \[{x^2} - x - 2 = x + 1\]\[ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0\].

Phương trình này có \[a - b + c = 0\] nên có hai nghiệm \[{x_1} =  - 1\],\[{x_2} = 3\].

Suy ra \[A\left( { - 1;0} \right)\] và \[B\left( {3;4} \right)\].

Diện tích tam giác \[OAB\] bằng \[\frac{1}{2}.1.3 = \frac{3}{2}\].

Chọn B

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\({x^2} + \left( {m + 2} \right)x - m = 2x + 3\)\( \Leftrightarrow \) \({x^2} + mx - m - 3 = 0\). \(\left( 1 \right)\)

Để đường thẳng \(d\) cắt parabol tại hai điểm phân biệt nằm cùng phía với trục tung \(Oy\) thì phương trình \[y = {x^2} - 3x - 1\] có hai nghiệm phân biệt cùng dấu \[y =  - 2{x^2} + 5x - 1\]\[y = 2{x^2} - 5x - 1\]\( \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\) \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = 2\,450\).

Chọn B

Gọi \[A\]và \[B\]là hai điểm ứng với hai chân cổng như hình vẽ.

Vì cổng hình parabol có phương trình \(y =  - \frac{1}{2}{x^2}\)và cổng có chiều rộng \(d = 5\) mét nên:

\(AB = 5\,\) và \(A\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{{25}}{8}} \right)\)\(;\,\)\(B\left( {\frac{5}{2}; - \frac{{25}}{8}} \right)\).

Vậy chiều cao của cổng là\(\left| { - \frac{{25}}{8}} \right| = \frac{{25}}{8} = 3,125\,\)mét.