Xác định parabol \(\left( P \right)\): \(y = a{x^2} + bx + c\), \(a \ne 0\) biết \(\left( P \right)\)cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(1\) và có giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{3}{4}\) khi \(x = \frac{1}{2}\)

Ta có \(\left( P \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(1\): Khi \(x = 0\) thì \(y = 1\) \( \Rightarrow \) \(c = 1\).

\(\left( P \right)\)có giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{3}{4}\) khi \(x = \frac{1}{2}\) nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}y\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{4}\\\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + 1 = \frac{3}{4}\\\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b =  - \frac{1}{4}\\a + b = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 1\end{array} \right.\).

Vậy \(\left( P \right)\): \(y = {x^2} - x + 1\).