Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình sau có nghiệm \(\sqrt {2{x^2} + x + 1}  = \sqrt {{x^2} + mx + m - 1} \).

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta được: \(A{C^2} + A{B^2} = B{C^2}\).

Suy ra \(AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}}  = \sqrt {{6^2} - {x^2}}  = \sqrt {36 - {x^2}} (\;cm)\).

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác \(ACD\) vuông tại \(A\), ta được: \(A{C^2} + A{D^2} = C{D^2}\).

Suy ra \(AD = \sqrt {C{D^2} - A{C^2}}  = \sqrt {{8^2} - {x^2}}  = \sqrt {64 - {x^2}} (\;cm)\).

Mà \(AB + BD = AD\) nên \(\sqrt {36 - {x^2}}  + 3 = \sqrt {64 - {x^2}} \) (1).

Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:

\(36 - {x^2} + 6\sqrt {36 - {x^2}}  + 9 = 64 - {x^2} \Rightarrow \sqrt {36 - {x^2}}  = \frac{{19}}{6} \Rightarrow {x^2} = \frac{{935}}{{36}} \Rightarrow x \approx 5,1.\)

Diện tích của tam giác \(BCD\) là: \(\frac{1}{2} \cdot 5,1 \cdot 3 = 7,65\left( {\;c{m^2}} \right)\).

Trường hợp 1: Với \(2x + 1 \ge 0\) hay \(x \ge  - \frac{1}{2}\), phương trình đã cho trở thành:

\(\sqrt {{x^2} - 4x - 1}  - (2x + 1) = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 4x - 1}  = 2x + 2\)(1)

Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:

\({x^2} - 4x - 1 = 4{x^2} + 8x + 4 \Rightarrow 3{x^2} + 12x + 5 = 0\)

\( \Rightarrow x = \frac{{ - 6 + \sqrt {21} }}{3}\) hoặc \(x = \frac{{ - 6 - \sqrt {21} }}{3}.\)

Mà \(x \ge  - \frac{1}{2}\) nên ta nhận \(x = \frac{{ - 6 + \sqrt {21} }}{3}.\)

Thay \(x = \frac{{ - 6 + \sqrt {21} }}{3}\) vào phương trình đã cho, ta thấy giá trị này thoả mãn.

Trường hợp 2: Với \(2x + 1 < 0\) hay \(x <  - \frac{1}{2}\), phương trình đã cho trở thành \(\sqrt {{x^2} - 4x - 1}  + 2x + 1 = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 4x - 1}  =  - 2x.\) (2)

Bình phương hai vế của phương trình (2), ta được:

\({x^2} - 4x - 1 = 4{x^2} \Rightarrow 3{x^2} + 4x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{{ - 1}}{3}\)hoặc \(x =  - 1.\)

Mà \(x <  - \frac{1}{2}\)nên ta nhận \(x =  - 1\).

Thay \(x =  - 1\) vào phương trình đã cho, ta thấy giá trị này thoả mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {\frac{{ - 6 + \sqrt {21} }}{3}; - 1} \right\}\).