Biết rằng parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) đi qua điểm \(A\left( {2;3} \right)\) và có đỉnh \(I\left( {1;2} \right)\). Tính tổng bình phương các hệ số của \(\left( P \right)\).

Theo yêu cầu bài toán ta có hệ phương trình:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{2^2} \cdot a + 2 \cdot b + c = 4\\{0^2} \cdot a + 0.b + c = 6\\ - \frac{b}{{2a}} = 2\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}4a + 2b + c = 4\\c = 6\\4a + b = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b =  - 2\\c = 6\end{array}\end{array} \Rightarrow (P):y = \frac{1}{2}{x^2} - 2x + 6.} \right.} \right.} \right.\]

Điều kiện xác định của hàm số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2m + 3 \ge 0}\\{x - m \ne 0}\\{ - x + m + 5 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 2m - 3}\\{x \ne m}\\{x < m + 5}\end{array}} \right.} \right.\)

Hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x - 2m + 3} }}{{x - m}} + \frac{{3x - 1}}{{\sqrt { - x + m + 5} }}\) xác định trên khoảng \((0;1)\) khi và chỉ khi

\((0;1) \subset D \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2m - 3 \le 0\\m \ge  - 4\\m \ne (0;1)\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m \le \frac{3}{2}\\m \ge  - 4\\\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m \ge 1\\m \le 0\end{array}\end{array}} \right.\end{array}\end{array} \Leftrightarrow m \in [ - 4;0] \cup \left[ {1;\frac{3}{2}} \right]} \right.} \right.\)