Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh học tìm được quy luật rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có \(n\) con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng \(P(n) = 360 - 10n\) (đơn vị khối lượng). Hỏi người nuôi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích để trọng lượng cá sau mỗi vụ thu được là nhiều nhất?

Điều kiện \( - 2 \le x \le 4\).

Đặt \(t = \sqrt {8 + 2x - {x^2}}  = \sqrt {9 - {{(x - 1)}^2}}  \le 3 \Rightarrow t \in [0;3]\).

Phương trình đã cho trở thành \( - {t^2} + t + 5 = 2m(1)\).

Phương trình đã cho có nghiệm khi (1) có nghiệm \(t \in [0;3]\).

Xét hàm số \(f(t) =  - {t^2} + t + 5\) trên đoạn \([0;3]\).

Bảng biến thiên:

Phương trình \(f(t) = 2m\) có nghiệm khi \( - 1 \le 2m \le \frac{{21}}{4} \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} \le m \le \frac{{21}}{8}\)

Vậy \( - \frac{1}{2} \le m \le \frac{{21}}{8}\).

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \{  - m\} \).

Với \({x_1} \ne {x_2}\) ta có: \(A = \frac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} = \frac{{\frac{{{x_1}}}{{{x_1} + m}} - \frac{{{x_2}}}{{{x_2} + m}}}}{{{x_1} - {x_2}}} = \frac{m}{{\left( {{x_1} + m} \right)\left( {{x_2} + m} \right)}}\).

Để hàm số nghịch biến trên \(( - \infty ; - 1)\) khi \( - 1 \le  - m \Leftrightarrow m \le 1(*)\)

Do đó: \(\forall {x_1},{x_2} \in ( - \infty ; - m),{x_1} \ne {x_2} \Rightarrow {x_1} <  - m;{x_2} <  - m\)

\( \Rightarrow {x_1} + m < 0,{x_2} + m < 0 \Rightarrow A < 0 \Leftrightarrow m < 0\)

Kết hợp với (*) ta có \(m < 0\).