Tìm các giá trị của \(m\) để hàm số \(y = \frac{{mx}}{{x - 1}}\) đồng biến trên \((1; + \infty )\).

\(\begin{array}{l}{\rm{V\^o \`u i }}{x_1} \ne {x_2}{\rm{ ta co\`u : }}A = \frac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} = \frac{{\frac{{m\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right)}}}}{{{x_1} - {x_2}}} = \frac{{ - m}}{{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right)}}.\\\forall {x_1},{x_2} \in (1; + \infty ),{x_1} \ne {x_2} \Rightarrow {x_1} > 1,{x_2} > 1 \Rightarrow {x_1} - 1 > 0,{x_2} - 1 > 0 \Rightarrow \left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) > 0.\end{array}\)

Khi đó để hàm số đồng biến trên \((1; + \infty )\) khi và chỉ khi \(A > 0 \Leftrightarrow m < 0\).