Cho \(\Delta ABC\) có cạnh \(AB = 10{\rm{\;cm}}\) và cạnh \(BC = 7\;{\rm{cm}}\). Biết độ dài cạnh \(AC\) là một số nguyên tố lớn hơn 11. Độ dài cạnh \(AC\) là

a) Sai.

Xét \(\Delta AMI\), theo bất đẳng thức tam giác, ta có: \(MA < MI + IA\).

Do đó, ý a) sai.

b) Đúng.

Từ \(MA < MI + IA\), cộng hai vế với \(MB\), ta có:

\(MA + MB < MI + IA + MB\) hay \(MA + MB < IB + IA\).

Do đó, ý b) đúng.

c) Đúng.

Xét \(\Delta IBC\), theo bất đẳng thức tam giác, ta có: \(IB < BC + CI.\)

Do đó, \(IB + IA < CA + CB\).

Do đó, ý c) đúng.

d) Đúng.

Ta có: \(MA + MB < IB + IA\) và \(IB + IA < CA + CB\) suy ra \(MA + MB < CA + CB.\)

Do đó, ý d) đúng.

a) Đúng.

Xét \(\Delta ABK\), có: \(AB < AK + BK\).

Xét \(\Delta MBK\), có: \(BK < KM + BM\).

Xét \(\Delta ABM,\) có: \(AB < AM + BM\).

Do đó, ta có: \(AB < AK + BK < AK + KM + BM = AM + BM\).

Vậy \(KA + KB < MA + MB\).

b) Đúng.

Xét \(\Delta ABC,\) có: \(AB < AC + BC\).

Xét \(\Delta AMC,\) có: \(AM < MC + AC\).

Do đó, ta có: \(AB < AM + BM < MC + AC + BM = AC + BC\).

Vậy \(MA + MB < CA + CB.\)

c) Đúng.

Theo bất đẳng thức về cạnh trong tam giác, ta chứng minh được:

\(BC < KB + KC < KB + KN + NC < BN + NC < AB + AN + NC < AB + AC\).

Do đó \(KB + KC < AB + AC\).

d) Sai.

Tương tự, ta chứng minh được \(KA + KC < BA + BC\). (1)

Từ đó, ta có: \(KB + KC < AB + AC\); (2)

\(KA + KB < MA + MB\); (3)

Cộng theo vế (1), (2), (3) ta có: \[2\left( {KA + KB + KC} \right) < 2\left( {AC + BA + BC} \right)\].

Do đó \[KA + KB + KC < AC + BA + BC\] hay \(KA + KB + KC < {P_{ABC}}\).