Phương trình chính tắc của Elip \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)\)biết \(\frac{c}{a} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\) và nhận \(F\left( {4;0} \right)\)là một tiêu điểm là?

Gọi tâm đường tròn \(I(a;b)\). Ta có vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {4;3} \right)\) và \(\overrightarrow {IB}  = \left( {1 - a; - 3 - b} \right)\). Theo giả thiết: \(\overrightarrow {IB}  \bot \overrightarrow {{u_\Delta }}  \Rightarrow \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {{u_\Delta }}  = 0 \Rightarrow 4a + 3b + 5 = 0\left( 1 \right)\). Ta lại có \(\begin{array}{l}IA = IB \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2}\\ \Leftrightarrow {\left( { - 2 - a} \right)^2} + {\left( {6 - b} \right)^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( { - 3 - b} \right)^2}\\ \Leftrightarrow a - 3b + 5 = 0\left( 2 \right)\end{array}\)

Giải hệ (1) và (2): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4a + 3b =  - 5}\\{a - 3b =  - 5}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 2}\\{b = 1}\end{array}} \right.} \right.\).

Suy ra \(R = IA = \sqrt {{{( - 2 + 2)}^2} + {{(6 - 1)}^2}}  = 5\).

Do đó phương trình đường tròn \((C):{(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} = 25\).

Phương trình của elip là \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1\),

Khi đó: \(\frac{{{2^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{h^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Rightarrow h = \frac{{3\sqrt {21} }}{5}\)