Một thùng trong đó có \[12\] hộp đựng bút màu đỏ, \[18\] hộp đựng bút màu xanh. Số cách khác nhau để chọn được đồng thời một hộp màu đỏ, một hộp màu xanh là?

Giả sử trên hàng ngang của giá sách có đánh số từ 1 đến 12.

Nếu 6 quyển sách Toán được xếp vào vị trí lẻ thì 6 quyển sách Tiếng Anh xếp vào các vị trí còn lại nên có 6 ! cách xếp quyển sách Toán và 6 ! cách xếp quyển sách Tiếng Anh. Suy ra có \({(6!)^2} = 518400\) cách xếp.

Nếu 6 quyển sách Toán được xếp vào vị trí chẵn thì 6 quyển sách Tiếng Anh xếp vào các vị trí còn lại nên có 6 ! cách xếp quyển sách Toán và 6 ! cách xếp quyển sách Tiếng Anh. Suy ra có \({(6!)^2} = 518400\) cách xếp.

Vậy có tất cả \(2.518400 = 1036800\) cách sắp xếp sao cho các quyển sách Toán và sách Tiếng Anh ở vị trí xen kẽ nhau.

Gọi \(\overline {abcd} \) là số thoả mãn điều kiện đề bài.

Vì \(\overline {abcd} \) không vượt quá 2022 nên \(a = 1\) có 1 cách chọn.

Chọn \(b,c,d\) có \(A_8^3 = 336\) cách.

Vậy có \(1.336 = 336\) số thoả mãn đề bài.