Cho hàm số: \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3\left( {1 - {m^2}} \right)x + 1\). Có bao nhiêu số nguyên \(m \in \left[ {1;2024} \right]\) để hàm số có hai điểm cực trị (nhập đáp án vào ô trống)?

_____

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)}\\{\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)}\\{\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA}\end{array} \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right.\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB//CD}\\{CD \subset \left( {SCD} \right)}\end{array} \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)} \right.\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\).

Vì \(\Delta ACD\) đều \( \Rightarrow AM \bot CD\).

 Có \(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{AM \bot CD}\\{CD \bot SA}\\{SA,AM \subset \left( {SAM} \right)}\end{array}} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {SAM} \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(AK \bot SM\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AK \bot SM}\\{AK \bot CD}\\{CD,SM \subset \left( {SCD} \right)}\end{array} \Rightarrow AK \bot \left( {SCD} \right)} \right.\).

Khi đó \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AK\).

Vì \(AM\) là đường cao trong \(\Delta ACD\) đều \( \Rightarrow AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét \(\Delta SAM\) vuông tại \(A\) có \(AK\) là đường cao

\( \Rightarrow \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{1}{{\frac{{3{a^2}}}{4}}} = \frac{{11}}{{6{a^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\). Chọn B.

Ta có $\underset{x\to 1^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\text{lim}}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\text{lim}}\frac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\underset{x\to 1^{+}}{\text{lim}}\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{2}$

Và $\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}\left(ax-\frac{1}{2}\right)=a-\frac{1}{2}=f\left(1\right)$.

Hàm số đã cho liên tục tại điểm \(x = 1\) khi và chỉ khi:

$\underset{x\to 1^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=f\left(1\right)\iff \frac{1}{2}=a-\frac{1}{2}\iff a=1$. Chọn B.