Gieo đồng tiền cân đối và đồng chất \[5\] lần. Số phần tử của không gian mẫu là?

a) Số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega ) = 10!\).

b) Gọi \(A\) là biến cố: "5 bạn nữ đứng cạnh nhau".

Giả sử ghép 5 bạn nữ thành một nhóm có 5! cách ghép.

Coi 5 bạn nữ này là 1 cụm \(X\).

Khi đó bài toán trở thành xếp 5 bạn học sinh nam và \(X\) thành một hàng dọc.

Khi đó số cách xếp là \(6! \Rightarrow n(A) = 5!.6!\)

Vậy xác suất của biến cố \(A\) là \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{5!6!}}{{10!}} = \frac{1}{{42}}\).

c) Gọi \(B\) là biến cố: "Học sinh nam và học sinh nữ đứng cạnh nhau".

Để xếp 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng ngang sao cho học sinh nam và học sinh nữ đứng cạnh nhau thì ta sẽ xếp xen kẽ.

Đánh số 10 vị trí từ 1 đến 10.

Trường hợp 1: Nam đứng vị trí lẻ, nữ đứng các vị trí chã̃n.

Ta có: \(5!.5!\).

Trường hợp 2: Nam đứng vị trí chã̃n, nữ đứng các vị trí lẻ Ta có: \(5!.5\)!.

Vậy có tất cả \(5!.5! + 5!.5! = 2.5!.5!\) cách xếp nam, nữ đứng xen kẽ thành một hàng ngang

Vậy \(P(B) = \frac{1}{{126}}\)

d) Gọi \(C\) biến cố "để 2 người đứng đầu hàng và cuối hàng là nữ".

Số cách chọn 2 bạn nữ xếp ở vị trí đầu hàng và cuối hàng là: \(A_5^2\).

Lúc này, còn lại 3 bạn nữ và 5 bạn nam, số cách xếp 8 người này vào 1 hàng là

Vậy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu đề là: \(A_5^2 \cdot 8!\).

Vậy \(P(C) = \frac{2}{9}\)

Số phần tử không gian mẫu là \(n(\Omega ) = 8\) !.

Gọi \(B\) là biến cố : "Không có hai viên bi xanh nào đứng cạnh nhau".

Sắp xếp trước 5 bi đỏ trên một hàng, có 5 ! cách.

Mỗi cặp bi đỏ kề nhau sẽ có một vị trí giữa, ta có 4 vị trí như vậy, cộng với 2 vị trí đầu, cuối hàng ; vậy có 6 vị trí có thể đặt 3 bi xanh vào để không có hai viên bi xanh nào nằm cạnh nhau.

Suy ra \(n(B) = 5!A_6^3\). Vậy \(P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{5!A_6^3}}{{8!}} = \frac{5}{{14}}\).