Cho phương trình \(3{\rm{ta}}{{\rm{n}}^3}x - {\rm{tan}}x + \frac{{3\left( {1 + {\rm{sin}}x} \right)}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}} - 8{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right) = 0\). Khi đó \(3{\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}x + 1\) bằng (nhập đáp án vào ô trống).

__

Ta có:\({\left( {a{x^2} - \frac{{2a}}{x}} \right)^5}\)

\( = {\left( {a{x^2}} \right)^5} + 5{\left( {a{x^2}} \right)^4}\left( { - \frac{{2a}}{x}} \right) + 10{\left( {a{x^2}} \right)^3}{\left( { - \frac{{2a}}{x}} \right)^2} + 10{\left( {a{x^2}} \right)^2}{\left( { - \frac{{2a}}{x}} \right)^3} + 5\left( {a{x^2}} \right){\left( { - \frac{{2a}}{x}} \right)^4} + {\left( { - \frac{{2a}}{x}} \right)^5}\)

\( = {a^5}{x^{10}} - 10{a^5}{x^7} + 40{a^5}{x^4} - 80{a^5}x + \frac{{80{a^5}}}{{{x^2}}} - \frac{{32{a^5}}}{{{x^5}}}\)

Vì hệ số \({x^4}\) trong khai triển bằng −9720 nên \(40{a^5} =  - 9720 \Leftrightarrow {a^5} =  - 243\).

Vậy hệ số của \({x^7}\) trong khai triển là \( - 10{a^5} =  - 10 \cdot \left( { - 243} \right) = 2430\). Chọn B.

Đặt \(u = 2{x^3} + x - 1 \Rightarrow u' = 6{x^2} + 1 > 0\) với \(\forall x\)\( \Rightarrow x \in \left[ {0;1\left] { \Leftrightarrow u \in } \right[ - 1;2} \right]\).

Xét \(g\left( x \right) = f\left( u \right) + m\) với \(u \in \left[ { - 1;2} \right] \Rightarrow g'\left( x \right) = u' \cdot f'\left( u \right)\)

\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow u' \cdot f'\left( u \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( u \right) = 0 \Leftrightarrow u =  \pm 1\).

Bảng biến thiên:

$\Rightarrow \underset{\left[0;1\right]}{\text{min}}g\left(x\right)=-20\iff -1+m=-20\iff m=-19$. Chọn A.