Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {1\,;\,3} \right]\),\(f\left( x \right) \ne 0\) với mọi \(x \in \left[ {1\,;3} \right]\), đồng thời \[f'\left( x \right){\left[ {1 + f\left( x \right)} \right]^2} = {\left[ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)} \right]^2}\] và \(f\left( 1 \right) = - 1\). Biết rằng \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = a\ln 3 + b\,\,\,\left( {a \in \mathbb{Z},\,\,b \in \mathbb{Z}} \right)\), tính tổng \(S = a + {b^2}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {1\,;\,3} \right]\),\(f\left( x \right) \ne 0\) với mọi \(x \in \left[ {1\,;3} \right]\), đồng thời \[f'\left( x \right){\left[ {1 + f\left( x \right)} \right]^2} = {\left[ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)} \right]^2}\] và \(f\left( 1 \right) = - 1\). Biết rằng \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = a\ln 3 + b\,\,\,\left( {a \in \mathbb{Z},\,\,b \in \mathbb{Z}} \right)\), tính tổng \(S = a + {b^2}\).
A. \(S = 2\).
B. \(S = - 1\).
C. \(S = 4\).
D. \(S = 0\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Với \(x \in \left[ {1;\,\,3} \right]\) ta có:
\[f'\left( x \right){\left[ {1 + f\left( x \right)} \right]^2} = {\left[ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)} \right]^2} \Leftrightarrow \frac{{f'\left( x \right){{\left[ {1 + f\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^4}}} = {\left( {x - 1} \right)^2}\].
\[\,\,\, \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^4}}} + \frac{2}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^3}}} + \frac{1}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}} \right)f'\left( x \right) = {x^2} - 2x + 1\]
Suy ra: \[ - \frac{1}{{3{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^3}}} - \frac{1}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} - \frac{1}{{f\left( x \right)}} = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + x + C\] .
Ta lại có:\[f\left( 1 \right) = - 1 \Rightarrow \frac{1}{3} - 1 + 1 = \frac{1}{3} - 1 + 1 + C \Rightarrow C = 0\].
Dẫn đến: \[ - \frac{1}{3}{\left( {\frac{1}{{f\left( x \right)}}} \right)^3} - {\left( {\frac{1}{{f\left( x \right)}}} \right)^2} - \frac{1}{{f\left( x \right)}} = - \frac{1}{3}{\left( { - x} \right)^3} - {\left( { - x} \right)^2} - \left( { - x} \right)\,\,\,\,\left( * \right)\].
Vì hàm số \[g\left( t \right) = - \frac{1}{3}{t^3} - {t^2} - t\] nghịch biến trên \[\mathbb{R}\] nên \[\left( * \right) \Rightarrow \frac{1}{{f\left( x \right)}} = - x \Rightarrow f\left( x \right) = - \frac{1}{x}\].
Hàm số này thỏa các giả thiết của bài toán.
Do đó\(\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_1^3 {\left( { - \frac{1}{x}} \right){\rm{d}}x = - } \ln 3 \Rightarrow a = - 1,\,\,b = 0\). Vậy \(S = a + {b^2} = - 1\). Chọn B.
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Giá trị của xe sau \(n\) năm là: \(C = A \cdot {\left( {1 - 10\% } \right)^n}.\)
Tiền mua gói bảo hiểm ở năm thứ \(n\) là \({T_n} = 1,3\% \cdot A \cdot {\left( {1 - 10\% } \right)^n}\).
Tổng số tiền đóng bảo hiểm sau \(5\) năm là:
\(1,3\% \cdot A\left( {1 + \left( {1 - 10\% } \right) + {{\left( {1 - 10\% } \right)}^2} + {{\left( {1 - 10\% } \right)}^3} + {{\left( {1 - 10\% } \right)}^4} + {{\left( {1 - 10\% } \right)}^5}} \right) \approx \)\(55\)triệu đồng.
Vậy số tiền bác Tâm phải đóng là khoảng 55 triệu.
Đáp án cần nhập là: \(55\).
Lời giải
Theo dự kiến, cần \(24\) tháng để hoàn thành công trình.
Vậy khối lượng công việc trên một tháng theo dự tính là: \(\frac{1}{{24}}\).
Khối lượng công việc của tháng thứ 2 là: \({T_2} = \frac{1}{{24}} + 0,04 \cdot \frac{1}{{24}} = \frac{1}{{24}}{\left( {1 + 0,04} \right)^1}\).
Khối lượng công việc của tháng thứ 3 là:
\({T_3} = \left( {\frac{1}{{24}} + 0,04 \cdot \frac{1}{{24}}} \right) + 0,04 \cdot \left( {\frac{1}{{24}} + 0,04 \cdot \frac{1}{{24}}} \right)\)\( = \frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^2}\).
Như vậy khối lượng công việc của tháng thứ \(n\) là: \({T_n} = \frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^{n - 1}}\).
Ta có: \(\frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^0} + \frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^1} + ... + \frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^{n - 1}} = 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{24}} \cdot \frac{{1 - {{\left( {1 + 0,04} \right)}^n}}}{{1 - \left( {1 + 0,04} \right)}} = 1 \Leftrightarrow {\left( {1 + 0,04} \right)^n} = \frac{{49}}{{25}} \Leftrightarrow n = {\log _{1 + 0,04}}\frac{{49}}{{25}} \approx 17,2\).
Vậy công trình sẽ hoàn thành ở tháng thứ \[18\] từ khi khởi công.
Đáp án cần nhập là: \(18\).
Câu 3
A. \(V = 2\sqrt 6 {a^3}\).
B. \(V = \frac{{2\sqrt 6 {a^3}}}{3}\).
C. \(V = 2\sqrt 3 {a^3}\).
D. \(V = \frac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(1010\).
B. 2020.
C. \({2020^2}\).
D. \(4040\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập