Cho hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến và có đạo hàm cấp hai trên đoạn \(\left[ {0\,;\,2} \right]\) và thỏa mãn \(2{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} - f\left( x \right) \cdot f''\left( x \right) + {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 0\) với \(\forall x \in \left[ {0\,;\,2} \right]\,.\) Biết \(f\left( 0 \right) = 1;\,f\left( 2 \right) = {e^6},\,\)tích phân \(I = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {2x + 1} \right)} f\left( x \right){\rm{d}}x\) bằng
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến và có đạo hàm cấp hai trên đoạn \(\left[ {0\,;\,2} \right]\) và thỏa mãn \(2{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} - f\left( x \right) \cdot f''\left( x \right) + {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 0\) với \(\forall x \in \left[ {0\,;\,2} \right]\,.\) Biết \(f\left( 0 \right) = 1;\,f\left( 2 \right) = {e^6},\,\)tích phân \(I = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {2x + 1} \right)} f\left( x \right){\rm{d}}x\) bằng
A. \(1 - {e^{ - 1}}\).
B. \(1 + e\).
C. \(1 - {e^2}\).
D. \(1 - e\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
\[2{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} - f\left( x \right) \cdot f''\left( x \right) + {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) \cdot f''\left( x \right) - {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 2{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{f\left( x \right) \cdot f''\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} = 2 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right)^\prime } = 2\]
\[ \Leftrightarrow \int {{{\left( {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right)}^\prime }{\rm{d}}x = } \int {2{\rm{d}}x} \Leftrightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = 2x + {C_1}\]
\[ \Leftrightarrow \int {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x = \int {2x + {C_1}} } \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( x \right)} \right| = {x^2} + {C_1}x + {C_2}\].
\(f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow \ln 1 = {C_2} \Rightarrow {C_2} = 0\,.\)
\(f\left( 2 \right) = {e^6} \Rightarrow 6 = 4 + 2{C_1} \Rightarrow {C_1} = 1\,\).
\( \Rightarrow \ln \left| {f\left( x \right)} \right| = {x^2} + x \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{{x^2} + x}}\)
\( \Rightarrow I = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {2x + 1} \right){e^{{x^2} + x}}{\rm{d}}x} \, = \left. {{e^{{x^2} + x}}} \right|_{ - 2}^0 = 1 - {e^2}\,.\) Chọn C.
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Giá trị của xe sau \(n\) năm là: \(C = A \cdot {\left( {1 - 10\% } \right)^n}.\)
Tiền mua gói bảo hiểm ở năm thứ \(n\) là \({T_n} = 1,3\% \cdot A \cdot {\left( {1 - 10\% } \right)^n}\).
Tổng số tiền đóng bảo hiểm sau \(5\) năm là:
\(1,3\% \cdot A\left( {1 + \left( {1 - 10\% } \right) + {{\left( {1 - 10\% } \right)}^2} + {{\left( {1 - 10\% } \right)}^3} + {{\left( {1 - 10\% } \right)}^4} + {{\left( {1 - 10\% } \right)}^5}} \right) \approx \)\(55\)triệu đồng.
Vậy số tiền bác Tâm phải đóng là khoảng 55 triệu.
Đáp án cần nhập là: \(55\).
Lời giải
Theo dự kiến, cần \(24\) tháng để hoàn thành công trình.
Vậy khối lượng công việc trên một tháng theo dự tính là: \(\frac{1}{{24}}\).
Khối lượng công việc của tháng thứ 2 là: \({T_2} = \frac{1}{{24}} + 0,04 \cdot \frac{1}{{24}} = \frac{1}{{24}}{\left( {1 + 0,04} \right)^1}\).
Khối lượng công việc của tháng thứ 3 là:
\({T_3} = \left( {\frac{1}{{24}} + 0,04 \cdot \frac{1}{{24}}} \right) + 0,04 \cdot \left( {\frac{1}{{24}} + 0,04 \cdot \frac{1}{{24}}} \right)\)\( = \frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^2}\).
Như vậy khối lượng công việc của tháng thứ \(n\) là: \({T_n} = \frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^{n - 1}}\).
Ta có: \(\frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^0} + \frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^1} + ... + \frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^{n - 1}} = 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{24}} \cdot \frac{{1 - {{\left( {1 + 0,04} \right)}^n}}}{{1 - \left( {1 + 0,04} \right)}} = 1 \Leftrightarrow {\left( {1 + 0,04} \right)^n} = \frac{{49}}{{25}} \Leftrightarrow n = {\log _{1 + 0,04}}\frac{{49}}{{25}} \approx 17,2\).
Vậy công trình sẽ hoàn thành ở tháng thứ \[18\] từ khi khởi công.
Đáp án cần nhập là: \(18\).
Câu 3
A. \(V = 2\sqrt 6 {a^3}\).
B. \(V = \frac{{2\sqrt 6 {a^3}}}{3}\).
C. \(V = 2\sqrt 3 {a^3}\).
D. \(V = \frac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(1010\).
B. 2020.
C. \({2020^2}\).
D. \(4040\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập