Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(M \in SA\) sao cho \(SM = \frac{1}{3}SA\), \(N \in SB\) sao cho \(BN = \frac{1}{2}SN\) và \(P\) là trung điểm của \(SC\). Kẻ \(AB\) cắt \(MN\) tại \(H,MP\) cắt \(AC\) tại \(K,NP\) cắt \(BC\) tại \(I\).

Phân tích vecto \(\overrightarrow {MH} \) theo các vecto \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {SA} \)?

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Dùng định lý Menelaus

Lời giải

Sử dụng hình câu 1

Xét \(\Delta SCA\) có 3 điểm \({\rm{M}},{\rm{P}},{\rm{K}}\) thẳng hàng. Theo định lý Menelaus ta có:

\(\frac{{MS}}{{MA}}.\frac{{KA}}{{KC}}.\frac{{PC}}{{PS}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2}.\frac{{KA}}{{KC}} = 1 \Rightarrow \frac{{KA}}{{KC}} = 2 \Rightarrow KA = 2KC\)

Ta có:

\(\overrightarrow {MK} = \overrightarrow {MS} + \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CK} \)

\( = \frac{{ - 1}}{3}\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SA} + 2\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)\)

\( = \frac{2}{3}\overrightarrow {SA} + 2\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} \)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Sử dụng định lý Menelaus

Lời giải

Sử dụng hình câu 17:

Xét \(\Delta SCB\) có 3 điểm \({\rm{I}},{\rm{P}},{\rm{N}}\) thẳng hàng. Theo định lý Menelaus ta có:

\(\frac{{PC}}{{PS}}.\frac{{NS}}{{NB}}.\frac{{IB}}{{IC}} = 1 \Rightarrow \frac{{IB}}{{IC}} = \frac{1}{2}\)

Ta có:

\(\overrightarrow {MI} = \overrightarrow {MS} + \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} \)

\( = - \frac{1}{3}\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} \)