Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz), cho mặt phẳng $\alpha$đi qua điểm M(2;-1;0) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B,C sao cho độ dài OA, OB, OC theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai d = 3. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ tới mặt phẳng $\alpha$.Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị. (nhập đáp án vào ô trống )

Đáp án:  __

 

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Lập phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (\(\alpha \))

Lời giải

\(A \in Ox \Rightarrow A\left( {a,0,0} \right),B \in Oy \Rightarrow B\left( {0,b,0} \right),C \in Oz \Rightarrow C\left( {0,0,c} \right)\) với \(abc \ne 0\) và \(a > 0,b > 0,c > 0\)

Phương trình mặt phẳng (\(\alpha \)) có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(M\left( {2; - 1;0} \right) \Rightarrow \frac{2}{a} - \frac{1}{b} = 1 \Rightarrow 2b - a = ab\) (*).

Ta có: \(OA = a,OB = b,OC = c\) lập thành cấp số cộng với công sai \(d = 3\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = a + 3}\\{c = a + 6}\end{array}} \right.\)

Thay \(b = a + 4\) vào phương trình (*) ta được:

\(2\left( {a + 3} \right) - a = \left( {a + 3} \right)a \Rightarrow 2a + 6 - a = {a^2} + 3a \Leftrightarrow {a^2} + 2a - 6 = 0\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - \sqrt 7  - 1\left( L \right)}\\{a = \sqrt 7  - 1}\end{array}} \right.\)

Với \(a =  - \sqrt 7  - 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = \sqrt 7  + 2}\\{c = \sqrt 7  + 5}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là:

\(\frac{x}{{\sqrt 7  - 1}} + \frac{y}{{\sqrt 7  + 2}} + \frac{z}{{\sqrt 7  + 5}} = 1\)

\( \Rightarrow d\left( {O;\left( \alpha  \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\frac{{\sqrt {125 - 34\sqrt 7 } }}{9}}} = \frac{9}{{\sqrt {125 - 34\sqrt 7 } }} \approx 2\)