Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{1}\), đường thẳng \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = - 1 - t{\rm{\;}}}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\) với \(t \in \mathbb{R}\), điểm \(M\left( {1; - 4;3} \right)\). Xác định phương trình đường thẳng đi qua \(A\) và cắt hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Hai vecto cùng phương

Lời giải

\({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{1} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t'}\\{y = 2 + 2t'}\\{z = t'}\end{array}} \right.\)

Gọi đường thẳng cần tìm là \({\rm{\Delta }}\)

Gọi giao điểm của \({\rm{\Delta }}\) và \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là \(A,B\)

Vì \(A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {1 + t';2 + 2t';t'} \right)\)

\(B \in {d_2} \Rightarrow B\left( {2 + t; - 1 - t;2t} \right)\)

Đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) đi qua ba điểm \(A,B,M \Rightarrow \overrightarrow {AM} = k.\overrightarrow {BM} \)

Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \left( { - t'; - 6 - 2t';3 - t'} \right);\overrightarrow {BM} = \left( { - 1 - t; - 3 + t;3 - 2t} \right)\)

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - t' = k( - 1 - t)}\\{ - 6 - 2t' = k( - 3 + t)}\\{3 - t' = k(3 - 2t)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - t' = - k - kt}\\{ - 6 - 2t' = - 3k + kt}\\{3 - t' = 3k - 2kt}\end{array}} \right.} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - t' + k + kt = 0}\\{ - 2t' + 3k - kt = 6}\\{ - t' - 3k + 2kt = - 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t' = \frac{{ - 18}}{{11}}}\\{k = \frac{3}{{11}}}\\{kt = \frac{{ - 21}}{{11}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t' = \frac{{ - 18}}{{11}}}\\{k = \frac{3}{{11}}}\\{t = - 7}\end{array}} \right.} \right.} \right.\]

\( \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \left( {6; - 10;17} \right)\)

Phương trình đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) đi qua \(M\left( {1; - 4;3} \right)\) và nhận vecto \(\overrightarrow {BM} = \left( {6; - 10;17} \right)\) làm vecto chỉ phương có dạng: \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{6} = \frac{{y + 4}}{{ - 10}} = \frac{{z - 3}}{{17}}\)