Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy là hình vuông cạnh \(a\). \(H\) là trung điểm \(AB,SH\) vuông góc với đáy, \(SH = a\). Tính sin góc giữa hai mặt phẳng: \(\left( {SAC} \right),\left( {SBC} \right)\)?

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp diện tích hai mặt bên. Giả sử góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là \(\alpha \). Khi đó ta có: \({V_{S.ABC}} = \frac{{2.{S_{\Delta SAC}}.{S_{\Delta SBC}}}}{{3SC}}.{\rm{sin}}\alpha \Rightarrow {\rm{sin}}\alpha = \frac{{3{V_{S.ABC}}.SC}}{{2.{S_{{\rm{\Delta }}SAC}}.{S_{\Delta SBC}}}}\)

Lời giải

Ta có: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta ACB}} = \frac{1}{3}a.\frac{1}{2}{a^2} = \frac{{{a^3}}}{6}\)

Gọi góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là \(\alpha \).

\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{{2.{S_{{\rm{\Delta }}SAC}}.{S_{{\rm{\Delta }}SBC}}}}{{3SC}}.{\rm{sin}}\alpha \Rightarrow {\rm{sin}}\alpha = \frac{{3{V_{S.ABC}}.SC}}{{2.{S_{{\rm{\Delta }}SAC}}.{S_{{\rm{\Delta }}SBC}}}}\)

Xét \(\Delta BHC\) vuông tại \(B\) ta có:

\(HC = \sqrt {B{H^2} + B{C^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + {a^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Xét \(\Delta SHC\) vuông tại \(H\) có: \(SC = \sqrt {S{H^2} + H{C^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{{5{a^2}}}{4}} = \frac{{3a}}{2}\)

Xét \(\Delta SAB\) cân tại \(S\) ta có: \(SA = \sqrt {S{H^2} + H{A^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

\( \Rightarrow SB = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

\(AC\) là đường chéo của hình vuông \(ABCD\) có độ dài cạnh là \(a \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \)

Tính diện tích \(\Delta SAC\):

Theo công thức heron ta có: \({S_{{\rm{\Delta }}SAC}} = \sqrt {p\left( {p - SA} \right)\left( {p - SC} \right)\left( {p - AC} \right)} \)

Trong đó: \(p\) là nửa chu vi \(\Delta SAC\)

\(p = \frac{{a\sqrt 5 + 2a\sqrt 2 + 3a}}{4}\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta SAC}} = \sqrt {{a^4}\left( {\frac{{ - \sqrt 5 }}{4} + \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{3}{4}} \right)\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{4} - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{3}{4}} \right)\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{4} + \frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{3}{4}} \right)\left( {\left. {\frac{{\sqrt 5 }}{4} + \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{3}{4}} \right)} \right.} = \frac{{3{a^2}}}{4}\)

Tính diện tích \({\rm{\Delta }}SBC\)

Dễ dàng chứng minh được: \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại \(B\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta SBC}} = \frac{1}{2}SB.BC = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 5 }}{2}.a = \frac{{{a^2}\sqrt 5 }}{4}\)

Vậy ta có: \[{\rm{sin}}\alpha = \frac{{3{V_{S.ABC}}.SC}}{{2.{S_{\Delta SAC}}.{S_{\Delta SBC}}}} = \frac{{3.\frac{{{a^3}}}{6}.\frac{{3a}}{2}}}{{2.\frac{{3{a^2}}}{4}.\frac{{{a^2}\sqrt 5 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\]