(0,5 điểm) Bác Nam muốn làm một cửa sổ khuôn gỗ, phía trên có dạng một nửa hình tròn, phía dưới có dạng hình chữ nhật. Biết rằng đường kính của nửa hình tròn cũng là cạnh phía trên của hình chữ nhật và tổng độ dài của khuôn gỗ (các đường in đậm trong hình bên) là $8\text{m}$. Em hãy tính giúp bác Nam tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật để cửa sổ có diện tích lớn nhất.

a) Chứng minh bốn điểm $A,B,D,E$ cùng thuộc một đường tròn.

Có $AD,BE,CF$ là các đường cao của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$ nên $AD\perp BC$ tại $D$; $BE\perp AC$ tại $E$; $CF\perp AB$ tại $F$

Suy ra $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=90°$ ; $\widehat{BEA}=\widehat{BEC}=90°$; $\widehat{CFA}=\widehat{CFB}=90°$

Có $\Delta ABD$ vuông tại $D$ nên $\Delta ABD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$ suy ra ba điểm $A,B,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AB$(1)

Có $\Delta ABE$ vuông tại $E$ nên $\Delta ABE$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$ suy ra ba điểm $A,B,E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AB$(2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm $A,B,D,E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AB$.

b) * Chứng minh: $DB.DC=DH.DA$

Có bốn điểm $A,B,D,E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AB$ suy ra $\widehat{EBD}=\widehat{EAD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $DE$)

Xét $\Delta HBD$ và $\Delta CAD$ có:

$\widehat{BDH}=\widehat{ADC}=90°$ và $\widehat{EBD}=\widehat{EAD}$ (cmt)

Do đó $\Delta HBD\backsim \Delta CAD$ (g.g)

Suy ra $\frac{DB}{AD}=\frac{HD}{CD}$ nên $DB.DC=DH.DA$.

* Chứng minh $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$

Xét đường tròn $\left(O;R\right)$ đường kính $AK$ có: $\widehat{ACK}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đườn tròn) nên $AC$ vuông góc với $CK$ (1)

Lại có $BE\perp AC$ suy ra $BE\text{/}\text{/}CK$.

Chứng minh tương tự có: $CF\text{/}\text{/}BK$.

Xét tứ giác $BHCK$có: $CH\text{/}\text{/}BK$; $BH\text{/}\text{/}CK$ suy ra $BHCK$ là hình bình hành.

Lại có $I$ là giao điểm của $HK$ và $BC$ nên $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$.

c)

Có $S_{\Delta ABC}=S_{\Delta HAB}+S_{\Delta HAC}+S_{\Delta HBC}$

Ta có $\frac{S_{\Delta HAB}}{S_{\Delta ABC}}=\frac{\frac{1}{2}.HF.AB}{\frac{1}{2}.CF.AB}=\frac{HF}{CF}$

$\frac{S_{\Delta HAC}}{S_{\Delta ABC}}=\frac{\frac{1}{2}.HE.AC}{\frac{1}{2}.BE.AC}=\frac{HE}{BE}$

$\frac{S_{\Delta HAC}}{S_{\Delta ABC}}=\frac{\frac{1}{2}.HD.BC}{\frac{1}{2}.AD.BC}=\frac{HD}{AD}$

Có $\frac{AH}{AD}+\frac{BH}{BE}+\frac{CH}{CF}=1-\frac{HD}{AD}+1-\frac{HE}{BE}+1-\frac{HF}{CF}$

$=3-\left(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}\right)$ $=3-\left(\frac{S_{\Delta HBC}}{S_{\Delta ABC}}+\frac{S_{\Delta HAC}}{S_{\Delta ABC}}+\frac{S_{\Delta HAB}}{S_{\Delta ABC}}\right)$

$=3-\left(\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta ABC}}\right)=3-1=2$.

2) Phương trình $x^2-5x-3=0$ có: $\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=25+12=37>0$.

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$

Áp dụng hệ thức Viète, ta có: $x_1+x_2=5$ và $x_1.x_2=-3$, suy ra $x_1\ne 1;x_2\ne 1$

Với $A=\frac{1}{x_1-1}+\frac{1}{x_2-1}$$=\frac{x_2-1+x_1-1}{\left(x_2-1\right)\left(x_1-1\right)}=\frac{\left(x_1+x_2\right)-2}{x_1.x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}$$=\frac{5-2}{-3-5+1}=\frac{3}{-7}=\frac{-3}{7}$.

Vậy giá trị của biểu thức $A=\frac{-3}{7}$.