Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4z - 4 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{{ - 5}}\). Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với \(d\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 3.    

Diện tích hình phẳng cần tìm là

\(S = \int\limits_2^3 {\left| {\frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}} - x} \right|dx} \)\( = \int\limits_2^3 {\left| {\frac{{ - x + 3}}{{x - 1}}} \right|dx} \)\( = \int\limits_2^3 {\frac{{ - x + 3}}{{x - 1}}dx} \)\( = \int\limits_2^3 {\frac{{ - x + 1 + 2}}{{x - 1}}dx} \)\( =  - \int\limits_2^3 {dx}  + \int\limits_2^3 {\frac{2}{{x - 1}}dx} \)

\( = \left. { - x} \right|_2^3 + \left. {\left( {2\ln \left| {x - 1} \right|} \right)} \right|_2^3\)\( =  - 1 + 2\ln 2\).

Suy ra \(a = 2;b =  - 1\). Do đó \(a + b = 1\). Chọn B.

Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = 9 \cdot {10^5}\).

Gọi \(a\) là số có tích các chữ số bằng 1400.

A là biến cố "chọn được một số có tích các chữ số bằng 1400 từ \(S\)".

Ta có: \(1400 = 7 \cdot {5^2} \cdot {2^3}\). Do đó, \(a\) phải được cấu tạo từ 6 chữ số:

Trường hợp 1: \(\left\{ {7;5;5;2;2;2} \right\}\). Khi đó, số lượng các số a là: \(\frac{{6!}}{{2! \cdot 3!}} = 60\).

Trường hợp 2: \(\left\{ {7;5;5;1;1;8} \right\}\). Khi đó, số lượng các số a là: \(\frac{{6!}}{{2! \cdot 2!}} = 180\).

Trường hợp 3: \(\left\{ {7;5;5;1;4;2} \right\}\). Khi đó, số lượng các số a là: \(\frac{{6!}}{{2!}} = 360\).

Xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{{60 + 180 + 360}}{{9 \cdot {{10}^5}}} = \frac{1}{{1500}}\). Chọn D.