(1,0 điểm) Có hai chiếc hộp, hộp \(A\) đựng 5 quả bóng ghi các số \(1;\,3;5;7;9\); hộp \(B\) đựng 5 quả bóng ghi các số \(2;4;6;8;10\). Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ mỗi hộp. Xét các biến cố sau:

\(M\): “Tổng các số ghi trên hai quả bóng lớn hơn 2”.

\(N\): “Tích các số ghi trên hai quả bóng bằng 30”.

\(P\): “Chênh lệch giữa hai số ghi trên hai quả bóng bằng 10”.

(a) Trong các biến cố trên, hãy chỉ ra biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố nào là biến cố không thể.

(b) Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp \(A\). Tính xác suất của biến cố \(Q\): “Số ghi trên quả bóng là số nguyên tố”.

a) Xét \(\Delta ABC\) có \(AB < AC\) nên \(\widehat C < \widehat B\).

Mà \(\widehat C = 90^\circ - \widehat {HAC}\) và \(\widehat B = 90^\circ - \widehat {BAH}\).

Do đó \[90^\circ - \widehat {HAC} < 90^\circ - \widehat {BAH}\] hay \(\widehat {HAC} > \widehat {BAH}\).

b) Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ADH\) có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {AHD} = 90^\circ \);

\(AH\) là cạnh chung;

\(HB = HD\) (giả thiết).

Do đó \(\Delta ABH = \Delta ADH\) (hai cạnh góc vuông).

Suy ra \(AB = AD\) (hai cạnh tương ứng).

Tam giác \(ABD\) có \(AB = AD\) nên là tam giác cân tại \(A\).

c) Kéo dài \(AH\) và \(CF\) cắt nhau tại \(K\).

Xét \(\Delta AKC\) có \(CH \bot AK,AF \bot CK\), \(CH\) cắt \[AF\] tại \(D\) nên \(D\) là trực tâm của \(\Delta AKC\).

Suy ra \(KD \bot AC\)

Mà \(DE \bot AC\) nên ba điểm \(K,D,E\) thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng \(AH,DE,CF\) đồng quy.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) nếu \(ad = bc\) \(\left( {b,d \ne 0} \right)\).

Xét hai tỉ số \(\frac{{ - 1}}{3}\) và \(\frac{{ - 21}}{{63}}\) có \[--1.63 = --21.3 = - 63\] nên \(\frac{{ - 1}}{3}\) = \(\frac{{ - 21}}{{63}}\). Phương án A đúng.

Xét hai tỉ số \(\frac{4}{3}\) và \(\frac{3}{2}\) có \[4.2 \ne 3.3\] nên hai tỉ số này không lập được tỉ lệ thức.

Xét hai tỉ số \(\frac{4}{6}\) và \(\frac{3}{2}\) có \[4.2 \ne 3.6\] nên hai tỉ số này không lập được tỉ lệ thức.

Xét hai tỉ số \(\frac{1}{3}\) và \(\frac{{ - 1}}{3}\) có \[1.3 \ne --1.3\] nên hai tỉ số này không lập được tỉ lệ thức.