(1,0 điểm) Danh sách đội dự thi trực tuyến về “An toàn giao thông” của học sinh lớp \(7A\) được đánh số thứ tự từ 1 đến 25, trong đó bạn Ngọc có số thứ tự là 15. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong đội đó. Xét các biến cố sau:

A: “Bạn Ngọc được chọn”.

B: “Bạn được chọn có số thứ tự nhỏ hơn 2 lần số thứ tự của bạn Ngọc”.

C: “Bạn được chọn có số thứ tự lớn hơn số thứ tự của bạn Ngọc”.

(a) Trong các biến cố trên, hãy chỉ ra biến cố nào là biến cố ngẫu nhiên, biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố nào là biến cố không thể.

(b) Tính xác suất của biến cố ngẫu nhiên tìm được ở câu a.

a) Ta có \[AB = AC\] (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)) và \[BD = CE\] (giả thiết)

Suy ra \(AB - BD = AC - CE\) hay \(AD = AE\).

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACD\) có:

\[AB = AC\] (chứng minh trên);

\(\widehat {BAC}\) là góc chung;

\[AD = AE\] (chứng minh trên).

Do đó \[\Delta ABE = \Delta ACD\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\].

b) Từ \[\Delta ABE = \Delta ACD\] suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

Suy ra \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\)

Tam giác \[IBC\] có \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\) nên là tam giác cân tại \(I\).

Do đó \[IB = IC\].

Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta ACI\) có:

\[AB = AC\] (chứng minh trên);

\[AI\] là cạnh chung;

\[IB = IC\] (chứng minh trên).

Do đó \[\Delta ABI = \Delta ACI\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.c}}{\rm{.c}}} \right)\]

Suy ra \(\widehat {BAI} = \widehat {CAI}\) (hai góc tương ứng).

Nên \[AI\] là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).

c) Xét \(\Delta ADE\) có \[AD = AE\] nên \(\Delta ADE\) cân tại \(A\), do đó \(\widehat {ADE} = \widehat {AED}\).

Mà \(\widehat {DAE} + \widehat {ADE} + \widehat {AED} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {AED} = \frac{{180^\circ - \widehat {DAE}}}{2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Tương tự với \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) ta có \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAC}}}{2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(DE\,{\rm{//}}\,BC\).

Suy ra \(\widehat {DEB} = \widehat {EBC}\) (hai góc so le trong) \(\left( 3 \right)\)

\(\Delta BDE\) có \[BD = DE\] nên là tam giác cân tại \(D\), suy ra \(\widehat {DBE} = \widehat {DEB}\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) suy ra \(\widehat {DBE} = \widehat {EBC}\)

Khi đó \[BE\] là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\).

Tương tự, với \[DE = EC\] ta cũng chứng minh được \[CD\] là đường phân giác của \(\widehat {ACB}\)

Xét \(\Delta ABC\) có \[BE,CD\] là hai đường phân giác của tam giác cắt nhau tại \(I\).

Suy ra \(I\) cách đều ba cạnh của \(\Delta ABC\).

Vậy để \[BD = DE = EC\] thì \[BE\] và \[CD\] là hai đường phân giác của \(\Delta ABC\), khi đó \(I\) cách đều ba cạnh của \(\Delta ABC\).

• Do số \(a\) lớn hơn số \(c\) năm đơn vị nên ta có \(a = c + 5\).

• Theo đề, ta có \(x = - 2\) là một nghiệm của đa thức \(P\left( x \right)\).

Suy ra \(P\left( { - 2} \right) = 0\).

Do đó \(4a - 2b + c = 0\).

Suy ra \(4a + c = 2b\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

• Ta có đa thức \(P\left( x \right)\) chia hết cho \(x - 2\) \(\left( * \right)\)

Nên \(P\left( x \right) = \left( {x - 2} \right).Q\left( x \right)\) với \(Q\left( x \right)\) là thương của phép chia đa thức \(P\left( x \right)\) cho đa thức \(x - 2\).

Khi đó \(P\left( 2 \right) = \left( {2 - 2} \right).Q\left( 2 \right) = 0\)

Do đó \(4a + 2b + c = 0\).

Suy ra \(4a + c = - 2b\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra \(2b = - 2b\).

Do đó \(4b = 0\), nên \(b = 0\).

Thế \(b = 0\) và \(a = c + 5\) vào \(\left( 1 \right)\), ta được \(4\left( {c + 5} \right) + c = 0\).

Hay \(4c + 20 + c = 0\).

Suy ra \(5c = - 20\), nên \(c = - 4\).

Với \(a = c + 5\), ta có \(a = - 4 + 5 = 1\).

Vậy \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = - 4\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

\(\left( * \right)\) Lưu ý: Với dữ kiện đa thức \(P\left( x \right)\) chia hết cho \(x - 2\), ta có thể thực hiện đặt tính chia đa thức và vẫn suy ra được điều kiện \(\left( 2 \right)\) như sau:

Khi đó, để \(P\left( x \right)\) chia hết cho \(x - 2\) thì \(c + 2b + 4a = 0\).

Suy ra \(4a + c = - 2b\,\,\,\,\left( 2 \right)\).