Điểm cách đều ba cạnh của một tam giác là

(2,5 điểm) Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường trung tuyến \(CM\). Trên tia đối của tia \(MC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(MD = MC\).

(a) Chứng minh \(\Delta MAC = \Delta MBD\).

(b) Chứng minh \(AC + BC > 2CM\).

(c) Gọi \(K\) là điểm trên đoạn thẳng \(AM\)sao cho \(AK = \frac{2}{3}AM\). Gọi \(N\) là giao điểm của \(CK\) và \(AD\), \(I\) là giao điểm của \(BN\) và \(CD\). Chứng minh rằng \(CD = 3ID\).

Một chiếc hộp đựng 8 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 8. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ và ghi lại số được ghi trên mặt thẻ. Biến cố nào sau đây là biến cố không thể?

Một bình thủy tinh chứa 2 ngôi sao màu xanh, 3 ngôi sao màu vàng và 4 ngôi sao màu đỏ, các ngôi sao có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một ngôi sao từ bình. Xác suất để lấy được một ngôi sao màu xanh là

(2,0 điểm) Cho hai đa thức: \(P\left( x \right) = 3{x^2} + 7 + 2{x^4} - 3{x^2} - 4 - 5x + 2{x^3}\);

\(Q\left( x \right) = - 3{x^3} + 2{x^2} - {x^4} + x + {x^3} + 4x - 2 + 5{x^4}\).

(a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến.

(b) Xác định bậc của mỗi đa thức.

(c) Tính \(G\left( x \right) = P\left( x \right) + Q\left( x \right)\). Chứng tỏ rằng \(G(x)\) luôn dương với mọi giá trị của \(x\).

Nếu đại lượng \(y\) tỉ lệ nghịch với đại lượng \(x\) theo hệ số tỉ lệ là 3 và đại lượng \(x\) tỉ lệ thuận với đại lượng \(z\) theo hệ số tỉ lệ là \( - 2\) thì phát biểu nào sau đây là đúng?

(1,0 điểm) Hai thanh kim loại đồng chất có thể tích lần lượt là \(5\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\) và \(7\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\). Tính khối lượng của mỗi thanh kim loại, biết rằng thanh thứ hai nặng hơn thanh thứ nhất \(15,6\,\,{\rm{g}}\).

Biểu thức đại số biểu thị tích của tổng \(x\) và \(y\) với hiệu của \(x\) và \(y\) là