Cho hàm số \[f(x)\].Biết \[f(0) = 4\] và \[f'(x) = 2{\cos ^2}\frac{x}{2} + 3,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\], khi đó \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f(x)dx} \] bằng? 

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Ta có phương trình đường thẳng đi qua hai điểm O, A là \(y = 2x\), đường thẳng đi qua hai điểm A, B là \(y = 2\).

Do đó ta có công thức hàm vận tốc là \(v\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}2t\;{\rm{khi}}\;0 \le t \le 1\\2\;\;{\rm{khi}}\;t > 1\end{array} \right.\).

b) Quãng đường vật đi được trong 1 giây đầu tiên được xác định bởi công thức \(s\left( t \right) = \int\limits_0^1 {v\left( t \right)dt} \).

c) Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ 1 giây đến 2 giây được xác định bởi công thức \(s\left( t \right) = \int\limits_1^2 {v\left( t \right)dt} \).

d) Quãng đường mà vật đi được trong 2 giây đầu tiên là

\(s\left( t \right) = \int\limits_0^2 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^1 {2tdt} + \int\limits_1^2 {2dt} = 1 + 2 = 3\) m.

a) S, b) S, c) S, d) Đ

a) \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {2x - 4} \right)dx} = - 16\).

b) \(\int\limits_1^4 {{f^2}\left( x \right)} dx = \int\limits_1^4 {{{\left( {2x - 4} \right)}^2}} dx = \left. {\frac{1}{6}{{\left( {2x - 4} \right)}^3}} \right|_1^4 = 12\).

c) \(\int\limits_{ - 2}^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^5 {\left| {2x - 4} \right|dx} \)\( = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {4 - 2x} \right)dx} + \int\limits_2^5 {\left( {2x - 4} \right)dx} = 16 + 9 = 25 = {3^0}{.5^2}\).

Do đó \({m^2} + {n^2} = 0 + 4 = 4\).

d) \(F\left( a \right) = \int\limits_0^a {f\left( x \right)} dx = \int\limits_0^a {\left( {2x - 4} \right)dx} = \left. {\left( {{x^2} - 4x} \right)} \right|_0^a = {a^2} - 4a\)\( = {\left( {a - 2} \right)^2} - 4 \ge - 4\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(F\left( a \right)\) là \( - 4\) khi \(a = 2\).