Cho hàm số \[f(x)\].Biết \[f(0) = 4\] và \[f'(x) = 2{\cos ^2}\frac{x}{2} + 3,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\], khi đó \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f(x)dx} \] bằng? 

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Ta có phương trình đường thẳng đi qua hai điểm O, A là \(y = 2x\), đường thẳng đi qua hai điểm A, B là \(y = 2\).

Do đó ta có công thức hàm vận tốc là \(v\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}2t\;{\rm{khi}}\;0 \le t \le 1\\2\;\;{\rm{khi}}\;t > 1\end{array} \right.\).

b) Quãng đường vật đi được trong 1 giây đầu tiên được xác định bởi công thức \(s\left( t \right) = \int\limits_0^1 {v\left( t \right)dt} \).

c) Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ 1 giây đến 2 giây được xác định bởi công thức \(s\left( t \right) = \int\limits_1^2 {v\left( t \right)dt} \).

d) Quãng đường mà vật đi được trong 2 giây đầu tiên là

\(s\left( t \right) = \int\limits_0^2 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^1 {2tdt} + \int\limits_1^2 {2dt} = 1 + 2 = 3\) m.

Đáp án đúng là: B

\(I = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{{2^x}}}dx = \int\limits_0^1 {{{\left( {\frac{e}{2}} \right)}^x}dx = \frac{1}{{\ln \frac{e}{2}}}\left[ {{{\left( {\frac{e}{2}} \right)}^x}} \right]_0^1 = \frac{1}{{\ln \frac{e}{2}}}\left( {\frac{e}{2} - 1} \right)} } \).

Suy ra \(a = 2;b = - 1\). Do đó \(a + b = 1\).