Tìm nguyên hàm của các hàm số

a) $f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + x - 2024$;

b) $f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)$;

c) $f\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}$.

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Ta có $\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + x - 2024} \right)dx} $$ = \frac{{{x^4}}}{{12}} - \frac{2}{3}{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2024x + C$.

b) $f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = {x^3} + 6{x^2} + 11x + 6$.

Suy ra $\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {{x^3} + 6{x^2} + 11x + 6} \right)dx} = \frac{{{x^4}}}{4} + 2{x^3} + \frac{{11}}{2}{x^2} + 6x + C$.

c) Ta có $f\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2} = {x^2} - 2x + 1$.

Suy ra $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + x + C$.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y = {x^2} + 3,y = 0,x = 0,x = 2$ xung quanh trục $Ox$.

Xem đáp án

Lời giải

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là

$V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}dx} $$ = \pi \int\limits_0^2 {\left( {{x^4} + 6{x^2} + 9} \right)dx} $$ = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} + 2{x^3} + 9x} \right)} \right|_0^2$$ = \frac{{202\pi }}{5}$.

Câu 2

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1,x = 4$.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có ${x^3} - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 3 \in \left[ {1;4} \right]$.

Diện tích hình phẳng cần tìm là

$S = \int_{1}^{4} |x^{3} - 3 x^{2}| d x$ $= \int_{1}^{3} |x^{3} - 3 x^{2}| d x + \int_{3}^{4} |x^{3} - 3 x^{2}| d x$ $= \int_{1}^{3} (3 x^{2} - x^{3}) d x + \int_{3}^{4} (x^{3} - 3 x^{2}) d x$

$ = \left. {\left( {{x^3} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right)} \right|_1^3 + \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - {x^3}} \right)} \right|_3^4$$ = 6 + \frac{{27}}{4} = \frac{{51}}{4}$.

Câu 3